Enunciado

12-17.Umestudo foi realizado sobre o desgaste de um mancal.y.e sua

relacao comx,=viscosidade do oleocx.=carga.Os seguintes dados

foram obtidos.

(a)Ajuste um modelo de regressao linear muiltipla a esses dados.

(b)Estime o-e os crros-padrao dos cocficientes de regressao,

(c)Use o modelo para prever o desgaste.quandor=25cr,=1000.

(d)Ajuste a esses dados um modeio de regressao linear multipla.com

um termo de interacao.

(e)Estime oe ep(B).para esse novo modelo.Como essas grandezas

variam?Isso diz a voce alguma coisa sobre o valor de adicionar o

termo de interacao ao modclo?

(f)Use o modelo do item(d)para prever o desgaste quandor,=25c

1000.Compare essa previsao como valor previsto no item(e).

Passo 1

Letra a:

A matriz do modelo é representada pela letra X.

Lembre-se de que a primeira coluna desta matriz são colunas de uns, e o resto das colunas são os chamados recursos.

Insira esta matriz e a variável de resposta y a partir dos dados fornecidos na tabela. Em seguida, calcule a estimativa do coeficiente β de acordo com a fórmula:

β ^ = X τ X - 1 X τ y = 383.8         - 3.638         - 0.11 r

o que significa que o melhor modelo linear para os dados é:

y = 383.8 - 3.638 x 1 - 0.11 x 2

Passo 2

Letra b:

Resíduos do modelo são definidos como:

e = y - y ^

e a estimativa de σ 2 é obtida como:

σ ^ 2 = e τ e n - p = 457.86 6 - 2 - 1 ≈ 152.6

Denotemos com β ^ o vetor de erros padrão dos coeficientes. Além disso, se A for uma matriz quadrada, diag (A) é um vetor de sua diagonal principal. Nesta notação, temos:

s e ⁡ ( β ^ ) 2 = σ ^ 2 d i a g ⁡ X τ X - 1

Calculando, nós obtemos:

s e ⁡ ( β ^ ) = 36.2         0.57         0.041 τ

Passo 3

Letra c:

Defina:

x = 1         25         1000

e obtenha:

y = x β ^ = 181.17

Passo 4

Letra d:

Ajustando o modelo com interações (adicionar uma coluna de produto de inumeráveis ​​na matriz do modelo), nós obtemos:

y = 483.97 - 7.66 x 1 - 0.22 x 2 + 0.004 x 1 x 2

Passo 5

Letra e:

Resíduos do modelo são definidos como:

e = y - y ^

e a estimativa de σ 2 é obtida como:

σ ^ 2 = e τ e n - p = 293.98 6 - 3 - 1 ≈ 147

Observe que a variância é um pouco menor do que antes sugerindo que o termo de interação está ajudando.

Denotemos com β ^ o vetor de erros padrão dos coeficientes. Além disso, se A for uma matriz quadrada, diag (A) é um vetor de sua diagonal principal. Nesta notação, temos:

s e ( β ^ ) 2 = σ ^ 2 d i a g ⁡ X τ X - 1

Calculando, nós obtemos:

s e ⁡ ( β ^ ) = 101.3         3.85         0.11         0.004 τ

Contudo, notamos que os erros padrão do coeficiente são maiores do que antes, o que não é bom (adiciona incerteza ao modelo).

Passo 6

Letra f:

E finalmente, defina:

x = 1         25         1000         25000

e obtenha:

y = x β ^ = 172.62

significativamente diferente de antes.

Resposta

  1. y = 383.8 - 3.638 x 1 - 0.11 x 2
  2.   V a r i â n c i a   ≈ 152.6
  3. se ⁡ β ^ = 36.2         0.57         0.041 τ

  4. 181.17
  5. y = 483.97 - 7.66 x 1 - 0.22 x 2 + 0.004 x 1 x 2
  6. V a r i â n c i a ≈ 147
  7. s e ⁡ ( β ^ ) = 101.3         3.85         0.11         0.004 τ

  8. 172.62
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