Enunciado

12-90. Os pontos transientes de um inversor eletrônico são intluencia-

dos por muitos lalores. A Tabcla 12-22 apresenta os dados sobre o pon

to transiente (y. em voltsi dos inversores PMOS-NMOS ecinco regres-

sores candidatos: x,-largura do dispositivo NMOS.x.-comprimen-

to do dispositivo NMOS. x, = largura do dispositivo PMOS.x,-com-

primento do dispositivo PMOS e x, = temperatura (℃).

a) Ajuste o modelo de regressão lincar miltipla a esses dados. usando

lolos os regressores. Teste a significancia da regressão usando a=

0.01.Enconire o valor P para esse teste e usc-o para tirar suas con

clusoes.

b)Teste a contribuição de cada variável ao modelo. usando o teste t.

com x = 0,05. Quais são as suas conclusoes?

c)Remova x, do modclo. Teste o novo modelo com relação à signifi.

cáncia da regressão. Tesle também. com o teste t. a contribuição

relativa de cada regressor para o novo moxdelo. Usando « - 0.05,

quais são as suas conclusoes?

d) Note que a MQ, para o modelo no item (c) é menor do que a MQ,

para o modelo completo no item (a). Explique por quc isso ocorreu.

e) Calcule os residuos na forma de Student. Algum desses resíduos

parece excepcionalmente grande?

f) Suponha que vocé descubra que a segunda observacão estava regis-

trakda incorretamente. Remova essa observação e reajusle o modelo

usando.xi. x2.x, e t, como regressores. Note que R para esse mode-

lo é consideravelmente maior do que Ri para os modelos ajustados

previamente. Explique por que o R- para esse modelo aumentou.

g) Teste o modclo do item (fi com relação à significáncia da regressão

usando a - 0.05. Investigue também a contribuição de cada regres-

sor para o imodelo, usando o teste t com u-0.05. Que conclusões

voce pode tirur?

h) Plote os residuos do modelo no item (f) contra ý e contra cada um

dos regressores. Comente esses gráficos.

Passo 1

Faaaala ai gente, tudo bom?

Vamos resolver essa questão aqui rapidinho?

Bora, é tranquilo

Letra a:

Eu ajustei o modelo linear usando os 5 regressores mencionados:

y = 2.8547 - 0.2905 × x 1 + 0.2057 × x 2 + 0.4544 × x 3 - 0.5942 × x 4 + 0.0046 × x 5

Sabemos que a estatística de teste F deve ser calculada da seguinte maneira.

Nós sabemos que:

f = S Q R / k S Q E / ( n - p )

Vamos lembrar que:

S Q E = 91.5867

Então,

S Q T = y τ y - ∑ i = 1 n   y i 2 n = 207.4037

Portanto, a estatística F é

f = 115.817 5 91.5867 25 - 5 - 1 ≈ 4.8

O valor p para o teste de significância da regressão é então obtido como F ∼ F k , n - p :

Valor P  = P ( F > 4.8 ) = 0.0052 < 0.01

A hipótese H 0   é, portanto, rejeitada, a regressão é significativa.

Passo 2

Letra b:

Precisamos calcular as estatísticas de teste para os coeficientes de regressão β ^ 1 até β ^ 5   .

Calcule:

t 1 = β ^ 1 - 0 se ⁡ β ^ 1 = - 2.4736 t 2 = β ^ 2 - 0 se ⁡ β ^ 2 = 2.7406 t 3 = β ^ 3 - 0 se ⁡ β ^ 3 = 2.4213 t 4 = β ^ 4 - 0 se ⁡ β ^ 4 = - 2.79585 t 5 = β ^ 5 - 0 se ⁡ β ^ 5 = 0.2553

Os valores p correspondentes para os testes t são então facilmente obtidos:

 valor P  1 = 0.0229  valor P  2 = 0.013  valor P  3 = 0.0256  valor P  4 = 0.0115  valor P  5 = 0.8012 > 0.05

Portanto, a hipótese nula do coeficiente ser 0 é rejeitada (sob α = 0.05 ) , para todas as variáveis, exceto x 5 , o que não contribui para o modelo

Passo 3

Letra c:

Vamos excluir x 5 do modelo melhora o modelo.

Nós facilmente recalculamos as quantidades, por exemplo

S Q E * = 91.9008

Vamos recalcular facilmente as quantidades, por exemplo

S S E * = 91.9008

e determinar a estatística F:

F * = 6.2841

e o valor p para o teste de significância

p v * = 0.0019

e concluímos que rejeitamos a hipótese nula de regressão insignificante.

Além disso, os testes t para coeficientes individuais resultam em rejeições de hipóteses nulas.

Passo 4

Letra d:

Calcule para ambos os modelos:

M S E = S S E n - k - 1 = 91.5867 25 - 5 - 1 ≈ 4.82 M S E * = S S E * n - k * - 1 = 91.9008 25 - 4 - 1 ≈ 4.595

Embora o modelo completo tenha um erro residual S S E , ligeiramente menor, o segundo modelo tem melhor (menor) M S E devido a uma variável a menos! Os modelos explicam uma quantidade muito semelhante de variabilidade, mas o segundo modelo é mais simples.

Passo 5

Letra e:

De todos os resíduos um é extraordinariamente grande, aquele referente à segunda medição:

t 2 ≈ - 3.37

Passo 6

Letra f:

O novo modelo (sem usar a segunda observação) é dado como:

y = 1.524 - 0.306 × x 1 + 0.374 × x 2 + 0.45 × x 3 - 0.466 × x 4

Calcule o coeficiente de determinação:

R novo 2 ≈ 0.804

Agora, quando não há um outlier significativo como é o caso com a segunda observação, o modelo explica melhor os dados.

Passo 7

Letra g:

Excluindo a segunda observação do modelo melhora o modelo.

Nós facilmente recalculamos as quantidades, por exemplo

S S E * * = 39.6936

e determine a estatística F:

F * * = 19.5305

e o valor p para o teste de significância

p v * * = 1.6 × 10 - 6

e concluímos que rejeitamos a hipótese nula de regressão insignificante.

Além disso, os testes t para coeficientes individuais resultam em rejeições de hipóteses nulas.

Passo 8

Letra h:

Agora apresentamos os gráficos de resíduos versus previsões e todos os regressores (modelo final). Os gráficos sugerem de certa forma não linearidade e variância não homogênea:

Resposta

  1. y = 2.8547 - 0.2905 × x 1 + 0.2057 × x 2 + 0.4544 × x 3 - 0.5942 × x 4 + 0.0046 × x 5 , Rejeita H 0
  2. A hipótese nula do coeficiente ser 0 é rejeitada (sob α = 0.05 ) , para todas as variáveis, exceto x 5 , o que não contribui para o modelo
  3. O novo modelo é melhor. A estatística de teste para o teste de significância é F * = 6.2841
  4. MSE ligeiramente inferior do novo modelo, 4.595 < 4.82
  5. A segunda observação é estranha, com o resíduo de - 3.37
  6. Novo modelo: y = 1.524 - 0.306 × x 1 + 0.374 × x 2 + 0.45 × x 3 - 0.466 × x 4
  7. O novo modelo tem um R 2   muito maior com 0.804 > 0.557   porque a segunda observação não foi bem explicada pelo modelo anterior.

  8. Este novo modelo é o melhor, estatística de teste: F * * = 19.5305   e valor p minúsculo.
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