Enunciado

9-42.Um mancal usado em uma aplicacao automotiva deve ter um di-

aimetro nominal interno de 1.5 polegada.Uma amostra aleatoria de 25

mancais e selecionada e o diametro interno medio desses mancais e

1.4975 polegada.Sabe-se que o diametro do mancal e normalmente

distribuido,com desvio-padrao o=0.01 polegada.

(a)Teste as hipoteses Ilp-1.5e versus H:p1,5,usamloa=0.01.

(b)Qual co valor P para o teste do item(a)?

(c)Caleuie a potencia do teste se o diametro medio veradeiro tor 1.495

polegada.

(d)Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diamctro

medio verdadeiro tao baixo quanto 1.495 polegada.se quisessemos

que a potencia do teste fosse no minimo 0.97

(e)Explique como a questao no item(a)podleria ser respondida.cons-

truindo um intervalo bilateral de contianca para o diametro medio.

Passo 1

E aí galera, vamo lá

Uma amostra aleatória de n = 25 rolamentos é selecionada e o diâmetro interno médio desses mancais é x _ = 1.4975 polegadas e desvio padrão σ = 0.01 polegadas.

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 1.5

Contra

H 1 : μ ≠ 1.5

usando α = 0.01

O teste de estatística

z 0 = x - - μ σ n = 1.4975 - 1.5 0.01 25 = - 1.25

Agora é

α = 0.01 ⇒ z α 2 = z 0.01 2 = 2.58

Se - z α ≤ z 0 ≤ z α   então devemos falhar em rejeitar H 0 . Portanto,

- 1.25 = z 0 > z α = - 2.58

E a hipótese H 0 : μ = 3500 é verdadeira.

Passo 3

Letra b:

O valor P para este teste é

  P - v a l u e   = 2 1 - Φ z 0 = 2 [ 1 - Φ ( 1.25 ) ] = 2 [ 1 - 0.894350 ] = 0.2113

onde Φ ( z ) denota a probabilidade à esquerda de z na distribuição normal padrão.

Passo 4

Letra c:

A probabilidade de um erro do tipo II para um teste bilateral na média, com variância conhecida é

β = Φ z α 2 - δ n σ - Φ - z α 2 - δ n σ                                   ( 1 )

onde   δ = μ - μ 0 .

Portanto, da Equação (1) e Tabela III do Apêndice, obtemos

β = Φ 2.58 - - 0.005 25 0.01 - Φ - 2.58 - - 0.005 25 0.01 = Φ ( 5.08 ) - Φ ( - 0.08 ) = 1 - 0.468119 = 0.531881

Então, a potência do teste é

1 - β = 0.468119

Passo 5

Letra d:

Tamanho da amostra para um teste bilateral na média, a variância conhecida é

n = z α + z β 2 σ 2 δ 2

Onde, δ = μ - μ 0

Uma média verdadeira é μ = 1.495 e 1 - β = 0.9 . Então δ =   - 0.005 , z β =   z 0.1 = 1.28 e

n = ( 2.58 + 1.28 ) 2 0.01 2 ( - 0.005 ) 2 = 59.6

Então, o tamanho da amostra é

n ≈ 60

Passo 6

Letra e:

Um intervalo de confiança de dois lados de 100 ( 1 - α ) % na média é:

x - - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x - + z α 2 σ n

Portanto, um IC 99% na média é

1.4975 - 2.58 0.01 25 ≤ μ ≤ 1.4975 + 2.58 0.01 25 1.49234 ≤ μ ≤ 1.50266

Portanto, 1.5 está no intervalo [1.49234, 1.50266] e concluímos que H 0 : μ = 1.5 é verdadeiro.

Resposta

  1. - 1.25 = z 0 > z α = - 2.58 então devemos falhar em rejeitar   H 0
  2. Valor P  = 0.2113  .
  3. 1 - β = 0.468119
  4. n ≈ 60
  5. 1.49234 ≤ μ ≤ 1.50266
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