Enunciado

9-56.Reconsidere os dados de Medicine and Science in Sports and

Exercise,deseritos no Exercicio 8-26.0 tamanho da amostra foi igual

a sele e a media e o desvio-padrao da amostra foram 315 We 16 W.

respectivamente.

(a)Ha evilencia de que a resistencia da perna excede 3(0)W.com um

nivel de significancia de 0.05?Encontre o valor P.

(b)Caleule a potencia do teste.se a resisteni veddia for 305 W.

(c)Que tamanho da amosta seria requerido para detectar uma media

verdadeira de 305 W.se quisessemos que a potencia do teste fosse

no minimo 0.90?

(d)Explique como a questao no item(a)poderia ser respondida com Um

intervalo de conlianga.

Passo 1

Sabemos que o desvio padrão s = 16 , média da amostra x _ = 315 e o tamanho da amostra é n = 7 . O valor P para o H 0 = μ : μ 0 contra a alternativa unilateral H 1 : μ > μ 0 é a probabilidade acima t 0 , ou seja

P = P T n - 1 > t 0                                         ( 1 )

onde vamos usar a estatística de teste

T n - 1 = X - - μ 0 S / n

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 300

Contra

H 1 : μ > 300

usando α = 0.05

O teste de estatística é

t 6 = 315 - 300 16 / 7 = 2.48

Sabemos que α = 0.05 , então

t n - 1 , α = t 6,0.05 = 1.943

Se t n - 1 < t n - 1 , α então, falhamos em rejeitar H 0 .

Portanto,

t 6 = 2.48 > 1.943 = t 6,0.05

e concluímos que H 0 não é verdadeiro.

Agora, da Equação (1), obtemos

P  -value  = P T 6 > 2.48

Da Tabela V do Apêndice nós sabemos

P T 6 > 2.447 = 0.025 P T 6 > 3.143 = 0.01

Portanto,

P T 6 > 3.143 < P T 6 > 2.48 < P T 6 > 2.447 0.01 < P T 6 > 2.48 < 0.025

Então, o valor P é

2 × 0.01 < Valor P  < 2 × 0.025

0.02 < Valor P  < 0.05

Passo 3

Letra b:

Quando o valor verdadeiro da média é μ = μ 0 + δ , a distribuição de T 0 é chamada de distribuição t não central com n - 1 grau de liberdade e parâmetro de não centralidade δ n / σ . O erro tipo II da alternativa de dois lados seria

β = P - t n - 1 , α 2 ≤ T 0 ≤ t n - 1 , α 2 ∣ δ ≠ 0 = P - t n - 1 , α 2 ≤ T 0 ' ≤ t n - 1 , α 2

onde T 0 ' denota a variável aleatória t não central, ou seja,

T 0 ' = X - - μ 0 + δ S / n

Encontrando a probabilidade de erro do tipo II para o teste t envolve encontrar a probabilidade contida entre dois pontos da distribuição t não central.

Este problema já foi resolvido, e os resultados são resumidos em uma série de curvas nos Gráficos do Apêndice VIIe, VIIf, VIIg e VIIh. As curvas são fornecidas para alternativas bilaterais nos Gráficos VIIe e VIIf. Nesses gráficos, o fator d é definido como

d = μ - μ 0 σ = | δ | σ

Para a alternativa unilateral μ > μ 0 ou μ < μ 0 usamos os gráficos VIIg e VIIh.

Nós vemos que d depende do parâmetro desconhecido σ 2 . Podemos evitar essa dificuldade de várias maneiras. Em alguns casos, poderíamos usar a variância da amostra s 2 para estimar um σ 2 .

O teste se a verdadeira força é de 305 watts, então

| δ | = | 305 - 300 | = 5 ⇒ d = 5 16 = 0.3125

Referindo-nos às curvas características de operação no Apêndice Gráfico VIIe (para α = 0.05 ) com d = 0.3125 e n = 7 , descobrimos que β = 0.8 , aproximadamente.

Então, a potência do teste é

1 - β ≈ 0.2

Passo 4

Letra d:

Queremos a potência do teste a ser pelo menos 1 - β = 0.9 e média da amostra verdadeira μ = 305 , então d = 5 / 16 = 0.3125 (ver figura anterior, linha verde). Em seguida, vemos que o tamanho da amostra é

75 < n < 100

Passo 5

Letra e:

Um IC unilateral de 100 ( 1 - α ) % na média é

x - - t n - 1 , α s n ≤ μ

Portanto, um IC unilateral de 95% na média é

315 - 1.943 16 7 ≤ μ

303.25 ≤ μ

Se testarmos

H 0 : μ = 300

Contra

H 1 : μ > 300

Então rejeitamos H 0 porque 300 não está em um IC de ( 303.25 , ∞ ) .

Resposta

  1. t 6 = 2.48 > 1.943 = t 6,0.05 ,  rejeitamos  H 0
  2. 1 - β = 0.2
  3. 75 < n < 100 .
  4. 303.25 ≤ μ ,   rejeitamos   H 0
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a amostra:Testar as hipóteses, para nível de 1% (testes bilaterais): μ = 1 3 .
Dada a amostra:Testar as hipóteses, para nível de 1% (testes bilaterais): μ = 1 4 .
Dada a amostra:Testar as hipóteses, para nível de 1% (testes bilaterais): μ = 12 .
Um estudo foi conduzido pelo Departamento deZoologia da Universidade da Virgínia para determinar sehá diferença significativa na densidade dos organismos emduas estações diferentes localizadas no Ceda
Os dados a seguir representam os tempos de duração de filmes produzidos por duas indústrias cinematográficas:Teste a hipótese de que o tempo médio dos filmes produzidos pela empresa 2 excede o tempo d