Enunciado

9-69. Os dados de Medicin\' and Science in Sports and Exereise, descritos no Exercicio 8-42. consideraram o desempenho de um jogador de hóxquei no gelo depois de um treino com eletroestimulação. Em resumo, havia 17 jogadores e o desvio-padrào do desempenho da amostra foi 0,09 segundo.

(a) Há uma torte evidência para concluir que o desvio-padrào do tempo do desempenho excede o valor histórico. Encontre o valor P para esse teste.

(b) Discuta como o item (a) poxleria ser respxndido, construindo um intervalo unilateral de confiança de 95

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 > σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2 (1)

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

λ 0 2 > χ α , n - 1 2

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

valor P  = P χ 0 2 < χ α , n - 1 2           ( 3 )

Nós sabemos que haviam n = 17 jogadores. E o desvio padrão da amostra de desempenho foi s = 0.09 segundos.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de H 0 : σ = 0.75 contra H 1 : σ > 0.75 . Agora, da Equação (1) obtemos valor para a estatística de teste

χ 0 2 = ( 17 - 1 ) 0.09 2 0.75 2 = 0.23

Para α = 0.05 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos.

χ 0.05,16 2 = 26.30

Então

χ 0 2 = 0.23 < 26.30 = χ 0.05,16 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

O valor P para este teste é obtido da Equação (3).

v a l o r   P = P χ α , 16 2 > 0.23

Nós sabemos do que do Apêndice Tabela IV, temos

P χ α , 16 2 > 5.14 = 0.995

Então

P χ α , 16 2 > 5.14 < P χ α , 16 2 > 0.23

Portanto, o valor P para este teste é

P-value  > 0.995

Passo 3

Letra b:

Se s 2 é a variância da amostra de uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 , então, um limite de confiança inferior de 100 ( 1 - α ) % em σ 2 é

( n - 1 ) s 2 χ α , n - 1 2 ≤ σ 2 (1)

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

Agora, da Equação (1), obtemos

16 × 0.09 2 26.3 ≤ σ 2

Então

0.0049 ≤ σ 2

Um limite de confiança 95% menor no desvio padrão é obtido quando consideramos os dois lados da equação anterior, ou seja:

0.07 ≤ σ

Não rejeitamos H 0 porque 0.75 ∈ ( 0.07 , ∞ ) .

Resposta

  1. χ 0 2 = 0.23 < 26.30 = χ 0.05,16 2 ,  falhamos em rejeitar  H 0 .  Valor P  > 0.995
  2. 0.07 ≤ σ
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