Enunciado

9-90. Defina X como o numeru de earrafas cheias. de forma incmple-

ta. em uma operação de enchimento de 24 garrafas commidas em uma

caixa. Setenta e cinco caixas são inspecionadas e as seguintes observa-

ções para X são registradas.

(a) Bascando-se nessas 75 observações, a distribuição binomial é um

modelo apropriado? Faça um procedimento de adequaçao de ajuste

com α-0.05.

(b) Caleule o valor P para esse tesle.

Passo 1

Faaaala aí,

Vamo aprender uma questão aqui?

Vamo!

Dado:

n = 24

Estimamos a proporção como a média (soma de todos divididos pelo número de valores) dividido pelo tamanho da amostra:

p = ( 0 ( 39 ) + 1 ( 23 ) + 2 ( 12 ) + 3 ( 1 ) ) / 75 24 = 0.6667 24 ≈ 0.028

A definição de probabilidade binomial:

P ( X = k ) = n C k ⋅ p k ⋅ ( 1 - p ) n - k = n ! k ! ( n - k ) ! ⋅ p k ⋅ ( 1 - p ) n - k

Avalie em k = 0 , 1,2 , 3 :

P ( X = 0 ) = 24 ! 0 ! 24 - 0 ! ⋅ 0.028 0 ⋅ ( 1 - 0.028 ) 24 - 0 ≈ 0.5058 P X = 1 ≈ 0.3497 P X = 2 ≈ 0.1158 P ( X ≥ 3 ) = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) = 0.0286

A hipótese nula afirma que as proporções da população são todas iguais:

H 0 : p 1 = P ( X = 0 ) , p 2 = P ( X = 1 ) , … , p 4 = P ( X ≥ 3 )

Passo 2

A hipótese alternativa afirma o oposto da hipótese nula:

H a :  Pelo menos um dos   p i '  s é diferente. 

Determine as frequências observadas O .

As frequências esperadas E são o produto do tamanho da amostra n e as probabilidades p i .

Os subtotais do qui-quadrado são as diferenças de quadrados entre as frequências observadas e esperadas, divididas pela frequência esperada.

χ sub 2 = ( O - E ) 2 E

O valor da estatística de teste é então a soma dos subtotais qui-quadrado:

χ 2 = ∑ ( O - E ) 2 E = 7.3732

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela C contendo o valor χ 2 na linha d f = c - 1 = 4 - 1 = 3 :

0.050 < P < 0.100

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, a hipótese nula é rejeitada:

P > 0.05 ⇒  Falhamos em rejeitar  H 0

Não há evidências suficientes para rejeitar a alegação da distribuição binomial.

Resposta

  1. Não há evidências suficientes para rejeitar a alegação da distribuição binomial.
  2. 0.050 < P < 0.100
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