Enunciado

A altura média de uma mulher na faixa de 20-74 anos foi 64 polegadas em 2002, tendo aumentado aproximadamente uma polegada a partir de 1960. Suponha que a altura de uma mulher seja normalmente distribuída, com um desvio-padrão de 2 polegadas.

  1. Qual é a probabilidade de uma mulher selecionada aleatoriamente dessa população ter entre 58 e 70 polegadas?
  2. Quais são os quartis dessa distribuição?
  3. Determine a altura simétrica em torno da média que inclui 90% dessa população.
  4. Qual é a probabilidade da altura de cinco mulheres selecionadas ao acaso dessa população exceder 68 polegadas?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 64 e desvio padrão 2.

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 64 2

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Usando a tabela III:

P ( 58 < X < 70 ) = P ( - 3 < Z < 3 ) = 2 Φ ( 3 ) - 1 = 0.9973

Passo 3

Na letra b:

Vamos escrever a equação:

0.25 = P ( X < x 1 ) = P ( Z < x 1 - 64 2 ) = Φ ( x 1 - 64 2 )

Vamos concluir a partir da tabela III que:

x 1 - 64 2 = - 0.675

Agora vamos resolver essa equação para obter x 1 :

x 1 = 62.65

Analogamente:

0.75 = P ( X < x 2 )

e seguindo o mesmo procedimento obtém-se:

x 2 = 65.35

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a equação:

0.9 = P ( 64 - x ≤ X ≤ 64 + x ) = P ( - x 2 ≤ Z ≤ x 2 ) = 2 Φ ( x 2 ) - 1

Simplificando:

Φ ( x 2 ) = 0.95

Vamos concluir a partir da tabela III que:

x 2 = 1.645

Agora vamos resolver essa equação para obter x :

x = 3.29

O intervalo em questão será:

[ 60.71,67.29 ]

Passo 5

Letra d:

A probabilidade de que 5 mulheres selecionadas aleatoriamente (assumindo independência) todas excedam 68 polegadas é:

P ( X > 68 ) 5 = P ( Z > 2 ) 5 = ( 1 - Φ ( 2 ) ) 5 = 6.094 × 1 0 - 9

Resposta

  1. 0.9973
  2. 62.65 e 65.35
  3. [ 60.71,67.29 ]
  4. 6.094 × 1 0 - 9
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