Enunciado

Uma amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de motos e de automóveis foi submetida a um teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses capacetes.

(a) Encontre um intervalo bilateral de confianca de 95% para a proporção verdadeira de capacetes desse tipo que mostraria algum dano proveniente desse teste.

(b) Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir da amostra preliminar de 50 capacetes, quantos capacetes tém de ser testados para estarmos 95% confiantcs de que o erro na estimação do valor verdadeiro de p scja menor do que 0,02?

(c) Quão grande tera de ser a amostra, se desejarmos estar no minimo 95% confiantes de que o crro na estimação de p seja menor do que 0,02, independentemente do valor verdadeiro de p?

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Se p ^ é a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a uma classe de interesse, um intervalo de confiança aproximada de 100 ( 1 - α ) % na proporção p da população que pertence a esta classe é

p ^ - z α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n ≤ p ≤ p ^ + z α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n

onde z α 2 é o ponto percentual superior α     2 da distribuição normal padrão.

Este procedimento depende da adequação da aproximação normal ao binomial. Para ser razoavelmente conservador, isso requer que np e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5. Em situações em que esta aproximação é inadequada, principalmente nos casos em que n é pequeno, outros métodos devem ser usados.

A estimativa pontual da proporção da população p é:

p ^ = x n = 18 50 = 0.36

e

n p = 50 × 0.36 = 18 > 5 n ( 1 - p ) = 50 × ( 1 - 0.36 ) = 32 > 5

Passo 2

Letra a:

Para um intervalo de confiança bilateral de 95%:

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025

e

z α 2 = 1.96

Portanto, a partir das equações anteriores, um IC bilateral de 95% na verdadeira proporção de capacetes que apresentariam danos no teste é:

0.36 - 1.96 0.36 ( 1 - 0.36 ) 50 ≤ p ≤ 0.36 + 1.96 0.36 ( 1 - 0.36 ) 50

que simplifica para

0.2269 ≤ p ≤ 0.4930

O tamanho da amostra para um erro especificado em uma proporção binomial é:

n = z α 2 E 2 p ( 1 - p )

Passo 3

Letra b:

O erro em estimar o valor real de p é:

E = 0.02

Das equações, temos:

n = 1.96 0.02 2 0.36 ( 1 - 0.36 )

Portanto, o tamanho da amostra é

n = 2213

Então, estar 100 ( 1 - α ) % confiante de que o erro na estimativa de p por p ^ é menor do que E, se o tamanho da amostra for

¿

n = z a E 2 0.25

Passo 4

Letra c:

Sabemos que o erro em estimar o valor real de p é E = 0.02 e z α 2 = 1.96 , então das equações obtemos

n = 1.96 0.02 2 0.25

E, portanto, o tamanho da amostra é

n = 2401

Resposta

  1. 0.2269 ≤ p ≤ 0.4930
  2. n = 2213
  3. n = 2401
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