Enunciado

Medidos os diâmetros de 32 peças de uma produção, resultou a distribuição abaixo (valores em mm):

Pergunta-se se há evidência que:

  1. O desvio padrão seja superior a 0,17. Ao nível de 5%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Antes de fazermos o teste de hipótese, iremos encontrar a média ( X - ) e o desvio padrão ( S ) amostral pelas seguintes equações:

Mas como no enunciado temos a quantidade de cada X i ( Z i ), iremos multiplicar X i ∙ Z i :

E pelo enunciado sabemos que:

n = 32   p e ç a s

Então temos o seguinte:

X - = 1821,1 32 = 56,91

S = 1,167 32 - 1 = 0,194

Passo 2

Então agora iremos seguir o passo a passo dos testes de hipóteses. Definindo nossa hipótese nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ):

  • H 0 :   σ 2 = 0,17 ;
  • H a :   σ 2 ≠ 0,17 .

Pelo enunciado sabemos que α = 0 , 05 , e como iremos testar a variância, iremos usar o teste qui-quadrado ( χ 2 ), com n - 1 graus de liberdade. Para este teste temos a seguinte equação:

χ 2 = ( n - 1 ) ∙ S 2 σ 0 2

Onde:

  • n tamanho da amostra;
  • S 2 variância amostral;
  • σ 0 2 valor da hipótese nula.

Então com os seguintes dados:

  • n = 3 2 ;
  • ϕ = 32 - 1 = 31 ;
  • α / 2 = 0,0 2 5 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 1 - 0,0 2 5 = 0,9 7 5 limite inferior.

E pela tabela da distribuição qui-quadrado, conseguimos definir nossa região crítica:

Como não temos o valor para ϕ = 31 , iremos realizar uma interpolação:

Então temos:

χ i n f 2 - 16,791 24,433 - 16,791 = 31 - 30 40 - 30 → χ i n f 2 = 1 7,555

χ s u p 2 - 46,979 59,342 - 46,979 = 31 - 30 40 - 30 → χ s u p 2 = 48,215

  • Se χ 2 > 48,215 ou χ 2 < 17 , 555 rejeita H 0 ;
  • Se 1 7,555 < χ 2 < 4 8,215 aceita H 0 .

Passo 3

Então por último, conseguimos calcular o valor de χ 2 e comparar com nossa região crítica:

χ 2 = ( 3 2 - 1 ) ∙ 0,194 2 0,17 2 = 40 , 3 7

Como 17,555 < χ 2 < 48,215 , então aceitamos H 0 .

Até mais galerinha, te espero para fazermos mais exercícios juntos!

Resposta

χ 2 = 40 , 3 7 aceita H 0 .

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