Enunciado

O artigo “Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants” (Water Research, 1984, p. 1169-1174) sugere a distribuição uniforme no intervalo (7,5, 20) como modelo para a profundidade (cm) da camada de bioturbação em sedimentos de uma determinada região.

a. Qual é a média e a variância da profundidade?

b. Qual é a fdc da profundidade?

c. Qual é a probabilidade de a profundidade observada ser no máximo 10? Entre 10 e 15?

d. Qual é a probabilidade de a profundidade observada estar dentro de 1 desvio padrão em relação ao valor da média? E dentro de 2 desvios padrão?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Essa questão é bem longa né? Para resolvermos ela, vamos definindo cada parte conforme formos resolvendo. Então, bora láá!!!

Passo 2

Seja f ( x ) a distribuição uniforme de profundidade no intervalo (7.5, 20) dado a nós. Portanto, o valor de f ( x ) neste intervalo é igual a:

f x = 1 20 - 7,5 = 0,08

E zero caso contrário.

O valor médio da distribuição dada pode ser dado como:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

= ∫ 7,5 20 x ( 0,08 ) d x

E X = 13,75

E para encontrarmos a variância, precisamos achar o valor esperado de X 2

E X 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x

= ∫ 7,5 20 x 2 ( 0,08 ) d x

E X = 202,08

Por fim, a variância é dada pela fórmula abaixo:

V X = E X 2 - E X 2

= 202,08 - 13,75 2

V X = 13

Passo 3

Para encontrar a fdc, integramos a fdp no intervalo do início até x exemplo:

F X = ∫ 7,5 x 0,08 d y

F X = 0,08 x - 0,6

Passo 4

A probabilidade de a profundidade ser no máximo 10 é denotada por P ( X ≤ 10 ) .

P X ≤ 10 = F 10

= 0,08 10 - 0,6

P X ≤ 10 = 0,2

Agora, a probabilidade de estar entre 10 e 15 é dada por P ( 10 < X < 15 ) .

P 10 < X < 15 = F 15 - F ( 10 )

= 0,08 15 - 0,6 - 0,08 10 - 0,6

P 10 < X < 15 = 0,4

Passo 5

Por fim, pela letra (a) encontramos a média e a variância abaixo:

μ = 13,75

V X = 13

Logo, o desvio padrão é:

σ X = 13 = 3,6056

E a primeira probabilidade pedida pelo enunciado é denotada por P ( μ - σ X < X < μ + σ X ) .

P μ - σ X < X < μ + σ X = P 10,6844 < X < 17,3556

= F 17,3556 - F ( 10,6844 )

= 0,08 17,3556 - 0,6 - 0,08 10,6844 - 0,6

P μ - σ X < X < μ + σ X = 0,5336

A última probabilidade dessa questão é P ( μ - 2 σ X < X < μ + 2 σ X ) .

P μ - 2 σ X < X < μ + 2 σ X = P 6,5388 < X < 20,9612

= F 20,9612 - F 6,5388

= 1 - [ 0 ]

P μ - 2 σ X < X < μ + 2 σ X = 1

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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