Enunciado

Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10 % das contas dos seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os itens abaixo, compare a solução exata com aquela obtida através de aproximação da variável aleatória pela distribuição normal.

  1. Se 20 contas são enviadas em um dia pela Companhia Telefônica, qual é a

probabilidade de que menos do que 3 sejam pagas com atraso?

Passo 1

Repare que nossa variável é a seguinte:

X = n ú m e r o   d e   c o n t a s   p a g a s   c o m   a t r a s o .

E que X ~ B i n o m i a l n ; 0,10

Ou seja, de n tentativas, temos 0,10   de chance de sucesso( no caso sucesso significa pagar conta com atraso)

Se você se lembrar, uma binomial pode ser calculada por:

P X = x = n x p x   ( 1 - p ) n - x

Repare que a igualdade é muito necessária (não conseguimos calcular P ( X < x   o u   X > x ) )

Para qualquer distribuição binomial, temos o seguinte:

E X = μ = n p

E

σ 2 X = V a r X = n p 1 - p

Passo 2

Então na letra A, vamos calcular usando a fórmula da binomial, e depois utilizando a aproximação pela normal padrão:

Então com n = 20 queremos saber a probabilidade de menos de 3 cartas serem pagas com atraso; em outras palavras:

P X < 3 = ?

Lembra que eu disse que a gente não consegue calcular isso usando a binomial?

Então precisamos fazer aparecer uma igualdade:

P X < 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Vamos ter, usando a fórmula da binomial:

P X < 3 = 20 0 ( 0,10 ) 0   0 , 90 20 + 20 1 ( 0,10 ) 1   0,90 19 + 20 2 ( 0,10 ) 2   0,90 18

OBs: busca na mémoria que:

n x = n ! x ! n - x !

Agora é só calcular isso daê:

P X < 3 = 0,1216 + 0,270 + 0,2852 ≅ 0,67697

Passo 3

Agora, vamos calcular aproximando a binomial pela normal, vamos ter o seguinte:

P X < 3 = P ( Y < 3 - 0,5 )

Onde Y ~ N ( μ ; σ 2 ) , e não se esqueça da correção de continuidade, pois estamos aproximando uma variável discreta(binomial) por uma contínua(normal).

Tente se lembrar disso:

P X < a = P Y < a - 0,5

Ou

P X ≤ a = P Y ≤ a + 0,5

E

P X > a = P Y > a + 0,5

Ou

P X ≥ a = P Y ≥ a - 0,5

Lembrando também que usamos a normal padrão:

Z = Y - μ σ ~ N ( 0,1 )

Perceba então, que na alternativa A teremos:

μ = n p = 20 0,10 = 2

E

σ 2 = n p 1 - p = 20 0,10 0,90 = 1,8

Então a aproximação pela normal:

P Y < 2,5 = P Y - μ σ < 2,5 - μ σ

Chegamos em:

P Z < 2,5 - 2 σ = P ( Z < 0,37 )

Perceba que queremos:

P Z < 0,37 = P - ∞ < Z ≤ 0 + P 0 < Z < 0,37

Como cada metade do gráfico é simétrica,

P - ∞ < Z ≤ 0 = P 0 ≤ Z < + ∞ = 0,5

Só precisamos buscar no gráfico o valor de P 0 < Z < 0,37

Portanto,

P 0 < Z < 0,37 = 0,14431

Então:

P ( Z < 0,37 ) = 0,5 + 0,14431 = 0,6443

Resposta

  1. Pela Binomial P = 0,6769 e aproximando pela normal P = 0,6443
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