Enunciado

Para uma exponencial de parâmetro 1, calcule a probabilidade de sortearmos um valor que se distancie no máximo 0,5   da média. Obtenha a expressão da função de distribuição dessa variável. Qual é o valor do terceiro quartil??

Passo 1

É muito importante sempre lembrar que em um modelo exponencial temos a seguinte função densidade de probabilidade:

f x = α e - α x ,           x ≥ 0 ; 0 ,         c a s o   c o n t r á r i o .

Onde α é justamente o parâmetro do modelo; isso significa que no nosso caso ficaremos com o seguinte:

f x = e - x ,           x ≥ 0 ; 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o .

E precisamos obter um valor b , tal que:

b = E x ± 0,5

Então precisamos encontrar o valor esperado para a nossa variável, se você se lembrar, essa média é definida por:

E X = μ = 1 α = 1 1 = 1

Ou seja,

b = 1 ± 0,5

No final das contas queremos:

P 0,5 < X < 1,5 = ∫ 0,5 1,5 e - x d x = - e - x 1,5 0,5

Portanto:

P 0,5 < X < 1,5 = e - 0,5 - e - 1,5 = 0,3834

Passo 2

Sabemos pela definição de um função de distribuição acumulada (f.d.a), que ela é obtida quando integramos a função densidade; temos:

F x = P X ≤ x = ∫ - ∞ x f x d x

Onde F ( x ) é a f.d.a e x ∈ R .

Tranquilamente:

F x = ∫ - ∞ 0 f x d x + ∫ 0 x f x d x

Como f x = 0 quando x < 0 , ficamos com:

F x = ∫ 0 x e - x d x = 1 - e - x

Passo 3

Agora, vamos relembrar que diaxo é “quartil”?!

Nada mais são do que uma medida da simetria/dispersão dos dados; no terceiro quartil Q 3 é onde temos:

P X < Q 3 = 75 %       e     P X ≥ Q 3 = 25 %

Em outras palavras 75 % dos valores são menores do que Q 3 e 25 % são maiores

Agora fica fácil encontrar usando a função de densidade:

P X ≥ Q 3 = ∫ Q 3 + ∞ f ( x ) d x = ∫ Q 3 + ∞ e - x d x = 0,25

Portanto:

P X ≥ Q 3 = - e - ∞ - e - Q 3 = 0 , 2 5  

Lembrando que:

lim x → + ∞ ⁡ e - x = 1 ∞ = 0

Ou seja,

e - Q 3 = 0 , 2 5  

E aplicando l n em ambos os lados:

- Q 3 = ln ⁡ 0,25

Chegamos em:

Q 3 = 1,386

Resposta

Concluimos, que a chance de obtermos um valor distante no máximo 0,5 da média, é de 38,34%; vimos também que a função de desitribuição acumulada é:

F x = 1 - e - x

Encontramos um valor de 1,386 para o terceiro quartil da amostragem.

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