Enunciado

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.

(b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em $ ganha por peça.

Passo 1

Primeiro precisamos verificar os possíveis tempos de processamentos para cada peça com suas respectivas probabilidades. Para isso, utilizaremos a tabela apresentada no enunciado do problema. Podemos ver que os possíveis tempos de processamento para cada peça são 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 minutos com 0,1; 0,1; 0,3; 0,2; 0,2; 0,1 de probabilidade respectivamente.

Passo 2

Para montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de G e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.

Os possíveis valores a gente já tem: {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.

Vamos começar por P G = 2,0 .

O operário receberá o valor fixo de $2,0 caso a peça seja processada em 6 ou 7 minutos, como a probabilidade da peça ser processada em 6 minutos é de 0,2 e em 7 minutos de 0,1, daí:

T = 6   o u   7 →   P G = 2,0 = 0,2 + 0,1 = 0,3  

Pensando da mesma forma e agora considerando o adicional de $0,50 por cada minuto poupado, a gente consegue todas as probabilidades que a gente quer.

T = 5 → P G = 2,5 = 0,2  

T = 4 → P G = 3,0 = 0,3  

T = 3 → P G = 3,5 = 0,1  

T = 2 → P G = 4,0 = 0,1

Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá 1.

Você pode deixar a sua resposta final assim, ou arrumar numa tabela maneira como essa:

Passo 3

Temos que a média de G será

E G = ∑ i = 1 n g i p i = 2 × 0,3 + 2,5 × 0,2 + 3,0 × 0,3 + 3,5 × 0,1 + 4,0 × 0,1 = 2,75

Para o cáculo da variância, devemos primeiro calcular o valor de E(G²)

E G 2 = ∑ i = 1 n g i 2 p i = 2 2 × 0,3 + 2,5 2 × 0,2 + 3,0 2 × 0,3 + 3,5 2 × 0,1 + 4,0 2 × 0,1 = 7,975

Como conhecemos os valores de E(G) e E(G²), basta substituirmos na fórmula da variância

V a r G = E G 2 - E G 2 = 7,975 - 2,75 2 = 7,975 - 7,5625 = 0,4125

Resposta

E G = 2,75

V a r G = 0,4125

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que dois times joguem uma série de partidas que termina quando um deles tiver ganhado i partidas. Suponha que cada partida jogada seja, independentemente, vencida pelo time A com probabilidade
A e B jogam o seguinte jogo: A escreve o número 1 ou o número 2, e B deve adivinhar que número foi escrito. Se o número que A escreveu é i e B adivinha-o, B recebe i unidades de A. Se B erra sua tenta
A rota usada por um motorista que vai ao trabalho contém dois cruzamentos com semáforos. A probabilidade de que ele tenha de parar no primeiro semáforo é 0,4, a probabilidade análoga para o segundo se
Quatro jogadas independentes de uma moeda honesta são feitas. Seja X o número obtido de caras. Esboce a função de probabilidade da variável aleatória X- 2.
Se a função distribuição de X é dada por F b =0 b01 20 ≤ b1 3 5 1 ≤ b2 4 52 ≤ b3 9 10 3 ≤ b3,5 1 b ≥ 3,5 calcule a função de probabilidade de X.