Enunciado

Na caixa I existem duas bolas numeradas 0 e 1, enquanto que a caixa II contêm duas bolas numeradas 1 e 0. Uma bola é retirada aleatoriamente de cada caixa, de forma independente uma da outra. A esse experimento, associamos as variáveis aleatórias: número da bola retirada na caixa I (X), soma dos valores das duas bolas retiradas (Y) e a diferença, em módulo, desses valores (Z).

  1. Determine a função de probabilidade conjunta entre X e Y e entre Y e Z.
  2. Verifique se X e Y são independentes. Idem para Y e Z.
  3. Calcule a covariância entre X e Y.
  4. Obtenha V a r X + Y .

Passo 1

  1. Em ambos os casos as variáveis não são independentes, podemos confirmar isso, verificando que o produto das marginais não são iguais probabilidade conjunta desses valores.

Passo 2

Exemplo X / Y :

P X = 1 ,   Y = - 1 ≠ P X = 1 × P Y = - 1

0 ≠ 0,5 × 0,25

0 ≠ 0,125

Passo 3

Exemplo Z / Y :

P Y = - 1 ,   Z = 2 ≠ P Y = - 1 × P Z = 2

0 ≠ 0,25 × 0,25

0 ≠ 0,0625

Passo 4

Vale lembrar que poderíamos fazer essa verificação com outros pares ( x , y ) , mas sempre damos preferências, para pares onde a probabilidade conjunta seja 0, já que a única forma do produto das marginas dar 0, é uma das marginais de probabilidade 0, e como podemos observar isso não acontece nesse exercício.

Passo 5

Vale lembrar também, que basta que um par não obedeça essa igualdade, para que as variáveis não sejam independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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