Enunciado

Na caixa I existem duas bolas numeradas 0 e 1, enquanto que a caixa II contêm duas bolas numeradas 1 e 0. Uma bola é retirada aleatoriamente de cada caixa, de forma independente uma da outra. A esse experimento, associamos as variáveis aleatórias: número da bola retirada na caixa I (X), soma dos valores das duas bolas retiradas (Y) e a diferença, em módulo, desses valores (Z).

  1. Determine a função de probabilidade conjunta entre X e Y e entre Y e Z.
  2. Verifique se X e Y são independentes. Idem para Y e Z.
  3. Calcule a covariância entre X e Y.
  4. Obtenha V a r X + Y .

Passo 1

  1. A variável X pode assumir os valores 0,1 ,   já a variável Y por ser a soma dos valores das duas bolas retiradas, pode assumir os valores {-1, 0, 1}, vamos assumir que existe a probabilidade de ½ de se tirar uma bola qualquer de qualquer uma das duas caixas, e vamos pensar nos possíveis pares ( x , y ) existentes, logo:

P X = 0 , Y = - 1 = 1 2 × 1 2 = 1 4

P X = 0 ,   Y = 0 = 1 2 × 1 2 = 1 4

P X = 1 ,   Y = 0 = 1 2 × 1 2 = 1 4

P X = 1 ,   Y = 1 = 1 2 × 1 2 = 1 4

Passo 2

Montando a tabela conjunta de X / Y :

Passo 3

Para o par Y / Z , temos que Y pode assumir {-1, 0, 1} e que Z pode assumir {0, 1, 2}, os possíveis pares ( y ,   z ) são:

P Y = - 1 ,   Z = 1 = 1 4

P Y = 0 , Z = 0 = 1 4

P Y = 0 , Z = 2 = 1 4

P Y = 1 ,   X = 1 = 1 4

Passo 4

Montando a tabela conjunta Y / Z :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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