Enunciado

Calcular, para 95%, os limites de confiança para a média, para as seguintes amostras:

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

Vamos relembrar que o intervalo de confiança é um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida (que é designada por 1 - α ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância. Onde:

Pela construção da figura acima, temos:

- t α / 2 ≤ t ≤ t α / 2

- t α / 2 ≤ X - - μ S / n ≤ t α / 2

O intervalo de confiança para a média populacional ( μ ), quando a nossa variância populacional ( σ 2 ) é desconhecida:

X - - t α / 2 ∙ S n ≤ μ ≤ X - + t α / 2 ∙ S n

Onde a variável t possui ( n - 1 ) graus de liberdade ( ϕ ).

Como nosso enunciado tem a nossa distribuição amostral, conseguimos calcular X - (média da amostra) e S (desvio padrão da amostra), pelas seguintes equações:

X - = X O + h ∙ ∑ ( α i ∙ Z i ) ∑ Z i

S = h 2 n - 1 ∙ ∑ ( α i 2 ∙ Z i ) - ∑ ( α i ∙ Z i ) 2 ∑ Z i

Onde:

  • X O valor em que α i = 0 ;
  • h amplitude de classe;
  • n = ∑ Z i ;
  • α i valores que iremos estimar para ∑ α i = 0 .
  • Sendo assim, temos os seguintes dados:

    Então:

  • X O = 15 ;
  • h = 10 ;
  • n = ∑ Z i = 60 ;
  • ϕ = 60 - 1 = 59 .

Com isso conseguimos calcular a média e o desvio padrão:

X - = 15 + 10 ∙ 10 60 = 16,67

S = 10 2 60 - 1 ∙ 30 - 10 2 60 = 6,93

Passo 2

Além disso, queremos o nível de confiança de 95% com ϕ = 59 . Pela tabela de t :

Como não temos o valor para 59 graus de liberdade, iremos fazer a interpolação:

t - 2,009 2,000 - 2,009 = 59 - 50 60 - 50 → t = 2,001

Passo 3

Então temos os seguintes dados:

  • t = 2,001 ;
  • X - = 16,67 ;
  • S = 6,93 .

Sendo assim, para o nível de confiança de 95%:

μ = 16,67 ± 2,001 ∙ 6,93 60

14,88 ≤ μ ≤ 18,46

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

14,88 ≤ μ ≤ 18,46 .

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