A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição X dos pesos dos usuários for suposta N(70,100) :

(a) Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?

(b) E seis passageiros?

Passo 1

E aí, meu querido! Tudo na paz?

Temos um elevador que aguenta no máximo 500   k g , e cada passageiro tem peso X ∼ N 70,100 , ou seja, média μ = 70 kg e desvio padrão σ = 10 kg.Queremos saber a probabilidade de o total ultrapassar 500   k g quando há 7 passageiros e depois 6 passageiros.

Como vamos resolver isso?

Vamos usar a distribuição da soma de variáveis normais independentes.Se somamos n variáveis X i ∼ N μ , σ 2 , então a soma S n = X 1 + ⋯ + X n também é normal, com

S n ∼ N n μ ,   n σ 2

Depois, transformamos para a distribuição normal padrão usando

Z = S n - n μ n σ

Assim, podemos calcular P S n > 500 como P ( Z > z 0 ) , usando tabelas ou Φ z .

Lembrando que:

  • Soma de normais independentes → normal.
  • Parâmetros da soma:
  • μ S = n μ ,     σ S = n σ

  • A fórmula da padronização é:
  • Z = S n - μ S σ S

  • E da probabilidade é:

P ( S n > c ) = 1 - Φ c - μ S σ S

Bora aplicar!

Passo 2

Cada um tem média 70   k g e σ = 10 k g .Então, em a) 7 passageiros:

S 7 ∼ N 7 ⋅ 70,7 ⋅ 100 = N 490,700

O desvio padrão total é:

σ S 7 = 700 ≈ 26,4575

Queremos:

P S 7 > 500 = 1 - Φ 500 - 490 26,4575

z = 10 26,4575 ≈ 0,378

Da tabela da normal: Φ 0,378 ≈ 0,6475

Logo:

P ( S 7 > 500 ) = 1 - 0,6475 = 0,3525

Isso implica uma probabilidade ≈   35,3 %

Tranquilo?

Passo 3

(b) 6 passageiros

Agora:

S 6 ∼ N 6 ⋅ 70,6 ⋅ 10 2 = N 420 ,   600

σ S 6 = 600 ≈ 24,495

Calculando a probabilidade:

P S 6 > 500 = 1 - Φ 500 - 420 24,495

z = 80 24,495 ≈ 3,268

Da tabela, Φ 3,268 ≈ 0,99946 .

P ( S 6 > 500 ) = 1 - 0,99946 = 0,00054

Portanto, nesse caso a probabilidade é ≈   0,054 %

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a) 35,3 %

b) 0,054 %

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