Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento, em n = 10 estados brasileiros, a respeito da renda do estado Y , em milhões de cruzeiros, em função da renda da indústria X 1 e de seviços X 2 (também em milhões de cruzeiros, ambas).

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla;

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

Onde iremos precisar calcular aas médias ( Y , X 1 e X 2 ) pelas seguintes equações:

As variâncias vamos usar as equações:

E as covariâncias:

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do enunciado temos os seguintes dados:

n = 10   e s t a d o s   b r a s i l e i r o s

Primeiramente, vamos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 95 10 = 9,5

X - 1 = 25 10 = 2,5

X - 2 = 50 10 = 5,0

Agora iremos calcular as variâncias:

S 11 = 240 - 25 2 10 = 177,5

S 22 = 480 - 50 2 10 = 230,0

S Y Y = 1810 - 95 2 10 = 907,5

E as covariâncias:

S Y 1 = 630 - 95 ∙ 25 10 = 392,5

S Y 2 = 920 - 95 ∙ 50 10 = 445,0

S 21 = S 12 = 310 - 25 ∙ 50 10 = 185,0

Passo 3

No item b), já queremos a equação da regressão simples, então precisamos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 445,0 185,0 - 392,5 177,5 230,0 185,0 - 185,0 177,5 = 0,97

b 1 = 445,0 185,0 - 230,0 185,0 ∙ 0,97 = 1,20

a = 9,5 - 1,20 ∙ 2,5 - 0,97 ∙ 5,0 = 1,65

A equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = 1,65 + 1,20 ∙ X 1 + 0,97 ∙ X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = 1,65 + 1,20 ∙ X 1 + 0,97 ∙ X 2 .

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