Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento, em n = 10 estados brasileiros, a respeito da renda do estado Y , em milhões de cruzeiros, em função da renda da indústria X 1 e de seviços X 2 (também em milhões de cruzeiros, ambas).

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear simples (só com X 2 ).

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Como no enunciado queremos a equação da regressão linear simples de Y em função de X 2 , a equação da reta será:

Y ^ = a + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a e b 2 , iremos utilizar as equações:

Para isso vamos calcular as médias ( Y e X 1 ) pelas seguintes equações:

Precisamos da variância de X 2 :

S 22 = ∑ X 2 2 - ∑ X 2 2 n

E as covariâncias:

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do enunciado temos os seguintes dados:

n = 10   e s t a d o s   b r a s i l e i r o s

Primeiramente, vamos calcular as médias de Y e X 2 , respectivamente:

Y - = 95 10 = 9,5

X - 2 = 50 10 = 5,0

O cálculo da variância de X 2 :

S 22 = 480 - 50 2 10 = 230,0

E as covariâncias:

S Y 2 = 920 - 95 ∙ 50 10 = 445,0

S 21 = S 12 = 310 - 25 ∙ 50 10 = 185,0

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 e a :

b = S Y 2 S 22 = 445,0 230,0 = 1,93

a = Y - - b ∙ X - 2 = 9,5 - 1,93 ∙ 5,0 = - 0,15

Por fim, temos a regressão linear simples de Y em função de X 2 :

Y ^ = - 0,15 + 1,93 ∙ X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = - 0,15 + 1,93 ∙ X 2 .

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