Enunciado

Foi feito o levantamento, com n = 12 pessoas, a respeito da idade Y , em função da respectiva altura X 1 (em cm) e do respectivo peso X 2 (em kg).

Efetuando os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Testar a existência da regressão múltipla e efetuar a análise de seu melhoramento (em relação à regressão simples só com X 1 ), ambas ao nível de 2,5%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para fazermos o teste de existência da regressão múltipla e análise de melhoramento, iremos fazer pela Análise de Variância representada pela tabela:

  • Se F R > F t a b existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 ;
  • Se F M > F t a b o melhoramento é significativo para essa variável X i .

Para a análise de melhoramento em relação a X 1 :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

Passo 2

Então vamos lá! Do exercício 9b), temos os seguintes dados:

  • b 1 = 0,09 ;
  • b 2 = 0,14 ;
  • S Y 1 = 150 ;
  • S Y 2 = 100 ;
  • S Y Y = 40 ;
  • S 11 = 880 .

Antes de iniciarmos iremos encontrar o F tabelado, para os dois testes, onde:

  • G L E = 2 ;
  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 12 - 3 = 9 .

Para α = 0,025 :

F R - t a b = 5,71

F M - t a b = 7,21

Passo 3

Então agora vamos calcular os quadrados médios:

Q M E = 0,09 ∙ 150 + 0,14 ∙ 100 2 = 13,75

S 2 = 40 - 0,09 ∙ 150 - 0,14 ∙ 100 9 = 1,38

F R = Q M E S 2 = 13,75 1,38 = 9,96

Como F R > F t a b ( 9,96 > 5,71 ), então existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento:

∆   = 0,09 ∙ 150 + 0,14 ∙ 100 - 150 880 ∙ 150

∆   = 1,93

F M = ∆ S 2 = 1,93 1,38 = 1,40

Como F M < F t a b ( 1,40 < 7,21 ), o melhoramento não é significativo em relação a X 1 para α = 0,025 .

Espero ter conseguido te ajudar, até mais!

Resposta

Existe regressão ( F R > F t a b );

O melhoramento não é significativo ( F M < F t a b ).

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