Enunciado

A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1.000 desses itens é escolhida ao acaso e os itens são testados, obtendo-se 30 defeituosos. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo que a confiabilidade de cada item é 0,95.

Passo 1

Para calcular a probabilidade de termos ao menos 30 itens defeituosos na nossa amostra, devemos realizar um calculo de distribuição binomial para o problema apresentado. Sendo assim:

X ~ b 100 0 ; 0 , 05 ,   s e n d o   0,05   a   p r o b a b i l i d a d e   d o   i t e m   s e r   d e f e i t u o s o

Tal que,

P X ≥ k = n k p k 1 - p n - k → P X ≥ 30 = ∑ j = 30 1000 1000 j 0,05 j 0,95 n - j

Como deve-se calcular a probabilidade para cada um dos valores maiores que 30 podemos ilustrar o resultado através da equação acima. Para chegar a um resultado de forma mais rápida pode-se realizar um cálculo de aproximação normal.

Passo 2

Para realizar a aproximação devemos relacionar os valores de n e p aos valores de μ   e   σ , para isso fazemos os seguintes processos:

μ = n p = 10 0 0 * 0 , 05 = 50

σ 2 = n p 1 - p = 10 0 0 * 0 , 05 * 1 - 0 , 05 = 47,5

Logo, aproximando os valores de Y para X:

Y ~ N(50;47,5)

P Y ≥ 30 = P X ≥ 29 , 5

Agora, para P(X ≥ 29,5) podemos aplicar os cálculos normais de distribuição normal.

P X ≥ 29 , 5 = P Z ≥ 29 , 5 - 50 47,5 = P Z ≥ - 2 , 975 = 0 , 9986

Passo 3

Resposta

Probabilidade de se encontrar mais de 30 itens defeituosso é de ≈ 0,9986

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