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Exercícios Resolvidos de Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros - 7.Exercícios - 29

Considere a distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre um estimador de máxima verossimilhança de lambda, baseada em uma amostra aleatória de tamanho n.

Passo 1

A variável aleatória X segue a distribuição de Poisson com o parâmetro λ .

f ( x ) = e - λ x ! ;   x = 0,1 , 2 , . . . , n

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança de λ , com base em uma amostra de tamanho n.

L ( x , λ ) = e - λ λ x 1 x ! × e - λ λ x 2 x 2 ! , . . . , × e - λ λ x n x n !

= ∏ i = 1 n e - n λ λ x i   x i !

Vamos aplicar log nos dois lados…

l o g L ( λ ) = l o g ∏ i = 1 n e - n λ λ x i x i !

=   - n λ + ∑ i = 0 x i l o g λ - l o g ( x ! )

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Passo 2

Vamos diferenciar em relação à λ e iguala à zero.

d l o g L ( λ ) d λ =   - n + ∑ i = 0 n x i λ + 0 = 0

λ = x ̄

Resposta

λ = x ̄

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