Enunciado

X e S^2 São a média e a variância da amostra de uma população com média mi e variância sigma ^2. Similarmente, X2 e S2^2 são a média e a variância da amostra de uma população com média mi2 e variância sigma ^2. Os tamanhos das amostras são n1 e n2 respectivamente.

  1. Mostre que X1 -X2 é um estimador não tendencioso de mi1 -mi2.
  2. Encontre o erro padrão de X1-X2. Como você poderia estimar o erro padrão?
  3. Suponha que ambas as populações tem uma mesma variância; isto é mostre que

é um estimador não tendencioso de sigma ^2.

Passo 1

Letra a:

Vamos mostrar que X ̄ 1 - X 2 ̄ é um estimador imparcial de μ 1 - μ 2 .

E ( X 1 ̄ - X 2 ̄ ) = E ( X 1 ̄ ) - E ( X 2 ̄ ) = μ 1 - μ 2

Porque E ( X ̄ 1 - X 2 ̄ ) = μ 1 - μ 2 ,   X ̄ 1 - X ̄ 2 é um estimador imparcial de μ 1 - μ 2 .

Passo 2

Letra b:

Vamos achar o erro padrão de X 1 ̄ - X 2 ̄ :

S 2 ( X 1 ̄ - X 2 ̄ ) = V ( X 1 ̄ - X 2 ̄ ) = S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2

Portanto, o erro padrão è:

σ ^ X 1 ̄ - X 2 ̄ = S 2 = S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2

Passo 3

Letra c:

Agora, vamos mostrar que S 2 p = ( n 1 - 1 ) S 2 1 + ( n 2 - 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 - 2 é um estimador imparcial de σ 2 . Em outras palavras, temos que mostrar que E ( s 2 p ) - σ 2 deve ser 0.

E ( S 2 p ) - σ 2 = E ( n 1 - 1 ) S 2 1 + ( n 2 - 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 - 2 - σ 2

= 0

Resposta

  1.   X ̄ 1 - X ̄ 2 é um estimador imparcial de μ 1 - μ 2
  2. S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2
  3. S 2 p = ( n 1 - 1 ) S 2 1 + ( n 2 - 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 - 2 é um estimador imparcial de σ 2
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