Enunciado

Delegados de 10 países, incluindo Rússia, França, Inglaterra e os EUA, devem sentar-se lado a lado. Quantos arranjos de assentos diferentes são possíveis se os delegados franceses e ingleses tiverem que sentar-se lado a lado e os delegados da Rússia e dos EUA não puderem sentar-se lado a lado.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a montar um comitê.

Aqui temos 10 pessoas, e vamos formar uma “fila” com todos e. Vamos utilizar o método destrutivo para calcular as possibilidades de cada uma das restrições.

Para isso vamos utilizar a formula da combinação, que pode ser descrita pela expressão:

C n , p = n p = n ! n - p ! p !

Essa formula nos dá a quantidade de diferentes grupos são possíveis formar com n pessoas, com p integrantes cada.

Passo 2

O método destrutivo se baseia em calcularmos todas as possibilidades sem aplicar as restrições envolvidas e depois calcular quantas destas possibilidades com a restrição e subtrair estas do total.

Vamos começar calculando as formas de colocar os 10 delegados de forma que o Frances e o Inglês sentam juntos. Para isso vamos imaginar que os dois são um “grupinho” e que nessa dupla há 2 posições possíveis ( P 2 = 2 ! ).

Então temos os 8 restantes + o grupo totalizando 9 objetos que queremos permutar, ou seja, P 9 = 9 ! formas de se fazer isto.

Pelo Principio Fundamental da contagem a quantidade total de formas de se formar esta “fila” é:

2 ! 9 ! = 725760

Passo 3

Agora calculando os casos que os delegados dos EUA e da Rússia também sentam juntos.

A ideia será a mesma, teremos o grupo do francês com o inglês e o grupo do Americano com o Russo, e fora estes 2 grupos teremos os 6 delegados restantes para permutar. Então temos no total 6 + 1 + 1   =   8   entidades. Então permutando estes 8 elementos e cada dupla de pessoas:

8 ! 2 ! 2 ! = 161280

Passo 4

Note que se subtrairmos o resultado do passo 2 pelo resultado do passo 1 teremos a nossa resposta pois estaremos tirando todos os casos da restrição. Então a resposta é:

2 ! 9 ! - 8 ! 2 ! 2 ! = 564480

Resposta

564480 possibilidades de se formar este comitê.

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