Enunciado

Se 8 quadros-negros idênticos forem divididos entre quatro escolas, quantas divisões

são possíveis? E se cada escola tiver que receber pelo menos um quadro-negro?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a dividir as coisas com os coleguinhas.

Aqui temos 8 quadros negros, e vamos distribui-los entre quatro escolas. Com certas restrições.

Vamos pensar que o número da quantidade de quadros recebido por cada escola é definido pelas variáveis x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 uma para cada escola. Note que se todos os quadros forem distribuídos a soma x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 8 .

Então para encontrarmos quantas formas temos de fazer isto basta calcularmos o numero de soluções não negativas desta equação.

Passo 2

Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos 8 bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução x 1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 0 , x 4 = 4 seria representado por:

⋅ | ⋅ ⋅ ⋅ | | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:

P 11 8,3 = 11 ! 8 ! 3 ! = 165

Passo 3

Agora para cada escola receber ao menos 1 quadro, significa na pratica que nós temos apenas 4 quadros para distribuir arbitrariamente entre as 4 escolas.

Analogamente ao raciocínio anterior a equação seria:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4

E a permutação seria:

⋅ | ⋅ ⋅ | | ⋅

P 7 3,4 = 7 ! 3 ! 4 ! = 35

Resposta

165 formas onde pode haver escolas sem quadro;

E 35 formas onde cada uma tem ao menos um quadro.

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