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Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções de distribuição cumulativa.

F ( x ) = 0 ,   x < - 2

F ( x ) = 0.5 x + 0.5 ,   - 2 ≤ x < 1

F ( x ) = 0.5 x + 0.25 ,   1 ≤ x < 1.5

F ( x ) = 1 ,   1.5 ≤ x

Passo 1

A função de distribuição cumulativa é dada:

F ( x ) = 0 ,   x < - 2

F ( x ) = 0.25 x + 0.5 ,   - 2 ≤ x < 1

F ( x ) = 0.5 x + 0.25 ,   1 ≤ x < 1.5

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 1.5

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua pode ser determinada a partir de uma diferenciação da função de distribuição cumulativa. Lembre-se de que o teorema fundamental de cálculo estabelece que:

d d x ∫ - ∞ x f ( u ) d u = f ( x )

Então, dado F ( x ) :

f ( x ) = d F ( x ) d x

desde que a derivada exista.

Então, a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória contínua X é :

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Passo 2

Fazendo a derivada, temos:

f ( x ) = d d x ( 0 ) = 0 ,   x < - 2

f ( x ) = d d x ( 0.25 x + 0.5 ) = 0.25 ,   - 2 ≤ x < 1

f ( x ) = d d x ( 0.5 x + 0.25 ) = 0.5 ,   1 ≤   x < 1.5

f ( x ) = d d x ( 1 ) = 0 ,     x ≥ 1.5

Resposta

f ( x ) = x < - 2

f ( x ) =   - 2 ≤ x < 1

f ( x ) = 1 ≤   x < 1.5

f ( x ) = x ≥ 1.5

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