Enunciado

(a) Determine a média e a variância da variável

aleatória X áo Exercício 5.65, a qual representa o nú­

mero de pessoas entre as 10.000 que cometem um

erro ao preparar a declaração de imposto de renda.

(b) De acordo com o teorema de Chebyshev, há uma

probabilidade de pelo menos 8/9 de que o número

de pessoas que cometem erros ao preencher a declaração de imposto de renda entre as 10.000 esteja em

qual intervalo?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Seja X a variável aleatória que representa o no. de pessoas entre 10000 que cometem um erro na preparação de suas declarações de imposto de renda.

Usando a aproximação de poisson, X tem uma distribuição de Poisson com parâmetro com μ = 10 p.m.f p ( x ; μ ) = e - μ ( μ ) x x !   ,   x = 0,1 , 2 , …

∴ E ( X ) = μ = 10

variância, σ 2 = μ = 10

Passo 2

(b) Colocando t = 3 σ no teorema de Chebyshev, obtemos

P ( μ - 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ ) ≥ 1 - σ 2 9 σ 2   = 1 - 1 9   = 8 9

Passo 3

Agora, no nosso problema,

μ = 10

σ 2 = 10

  ∴ σ = 10   ∴ [ μ - 3 σ , μ + 3 σ ] = [ 10 - 3 × 10 , 10 + 3 × 10 ]   = [ 0.5132,19.4868 ]   ≈ [ 0,19 ]

Passo 4

Assim, de acordo com o teorema de Chebyshev, há uma probabilidade de pelo menos 8 9 que o no. das pessoas que cometem erros na elaboração de suas declarações de imposto de renda entre 10000 declarações estarão dentro do intervalo [ μ - 3 σ , μ + 3 σ ] ≈ [ 0,19 ]

Resposta

Resposta nos passos.

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