Enunciado

O número médio de erros de datilografia encontrados em matrizes de uma gráfica é de 1,09 por matriz. Uma matriz deve ser refeita se apresentar 2 ou mais erros de datilografia ou se tiver defeitos de fabricação (os quais ocorrem em 4% das matrizes). Calcular:

  1. a porcentagem de matrizes que não precisam ser refeitas, considerando-se apenas os erros de datilografia;
  2. a probabilidade de 3 dessas matrizes conterem, no total, 2 ou 3 erros de datilografia;
  3. qual o número médio de matrizes que precisam ser substituídas, por apresentarem erros de datilografia ou defeitos de fabricação, sabendo-se que a gráfica recebeu 2.000 matrizes datilografadas; supor que os erros de datilografia e os defeitos de fabricação sejam independentes, mas não mutuamente exclusivos;
  4. qual o custo médio de substituição dessas 2.000 matrizes, sabendo-se que a substituição implica num custo adicional de Cr$ 200,00 por matriz substituída.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = μ x x ! ∙ e - μ

Do enunciado sabemos:

  • μ = 1,09   p o r   m a t r i z ;
  • Matriz precisa ser refeita se:
    • x ≥ 2 erros de datilografia
    • p = 0,04 defeitos de fabricação

Para o item a) queremos calcular a porcentagem de matrizes que não precisam ser refeitas, considerando-se apenas os erros de datilografia. Então para não precisar ser feita iremos descobrir P ( x < 2 ) :

  • Para nenhum erro:
  • P 0 = μ x x ! ∙ e - μ = 1,09 0 0 ! ∙ e - 1,09 = 0,336

  • E 1 erro de datilografia:
  • P 1 = 1,09 1 1 ! ∙ e - 1,09 = 0,366

    Portanto a porcentagem é:

    P ( x < 2 ) = P 0 + P 1 ∙ 100 % = ( 0,336 + 0,366 ) ∙ 100 %

    P ( x < 2 ) = 70,2 %

    Passo 2

    No item b) queremos a probabilidade de 3 matrizes conterem, no total, 2 ou 3 erros de datilografia, mas temos a média para 1 matriz. Então iremos utilizar a seguinte equação:

    P x = λ x x ! ∙ e - λ

    Onde:

  • λ média de eventos em um intervalo de tempo, área ou volume, ou ainda a taxa média de ocorrência por unidade medida
  • Então, para 3 matrizes:

    λ = 1,09 ∙ μ = 1,09 ∙ 3 = 3,27

  • Para 2 erros de datilografia:
  • P 2 = 3,27 2 2 ! ∙ e - 3,27 = 0,203

  • E para 3 erros:
  • P 3 = 3,27 3 3 ! ∙ e - 3,27 = 0,221

    A probabilidade é:

    P = P 2 + P 3 ∙ 100 % = 0,203 + 0,221 ∙ 100 %

    P = 42,4 %

    Passo 3

    Para o item c), primeiramente, vamos calcular a porcentagem das matrizes apresentarem erros de datilografia, no Passo 1 calculamos P ( x < 2 ) = 0,702 . Então temos:

    P x ≥ 2 = 1 - P x < 2 = 1 - 0,702

    P x ≥ 2 = 0,298

    Agora sabemos que 4% das matrizes apresentam defeitos de fabricação, então:

    p = 0,04

    Além disso, sabemos que se dois eventos quaisquer associados a um espaço amostral, e não mutuamente exclusivos:

    P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

    Onde:

    P A ∩ B = P A ∙ P B

    Considerando:

  • A erros de datilografia
    • P A = 0,298
  • B defeitos de fabricação
    • P B = 0,04

Temos o seguinte:

P A ∪ B = 0,298 + 0,04 - ( 0,298 ∙ 0,04 )

P A ∪ B = 0,326

Para 2.000 matrizes datilografadas:

μ = 0,326 ∙ 2000 = 652   m a t r i z e s

Passo 2

E por fim, no item d) queremos o custo médio de substituição das 2.000 matrizes, calculadas no Passo 3, sabendo que o custo é de Cr$ 200,00 por matriz substituída:

c u s t o   m é d i o = 652 ∙ 200 = C r $   130.400,00

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. P ( x < 2 ) = 70,2 % ;
  2. P = 42,4 % ;
  3. μ = 652   m a t r i z e s ;
  4. c u s t o   m é d i o = C r $   130.400,00 .

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