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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 37

Um escritório de investimento acredita que o rendimento das diversas ações movimenta-

das por ele foi de 24%. Mais ainda, a nova estratégia definida deve garantir uma maior

uniformidade nos rendimentos das diversas ações. No passado, o desvio padrão do

rendimento era da ordem de 5%. Para verificar as duas hipóteses, tomaram-se 8 empre-

sas ao acaso, obtendo-se os seguintes rendimentos (dados em %): 23,6; 22,8; 25,7; 24,8;

26,4; 24,3; 23,9 e 25. Quais seriam as conclusões?

Passo 1

  Vamos começar definindo a nossa variável X = r e n d i m e n t o s   e m   %

Do enunciado:

μ = 24 %     e   σ 2 = 5 2 %

N = 8   e m p r e s a s

X - = ∑ x i n = 24,5625 %

S 2 = ∑ x i 2 - n   X - 2 n - 1 = 1,35 %

Considerando que a população seja normalmente distribuída,e adotando α = 5 % .

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Passo 2

Primeiramente, vamos realizar o teste para a variância, usando a seguinte aproximação:

Q = n - 1 . S 2 σ 2 ~ X n - 1 2 (qui-quadrado, com n - 1   graus de liberdade).

Teste de hipótese: H 0 :   σ 2 = 5 2     e     H 1 :   σ 2 < 5 5    

Vamos construir a Região crítica: RC={ q 0 ∈ R   t a l   q u e   q 0 < X 1 - 0,05 ; 7 2   }    

Onde: X 0,95 2 ; 7 = 2,167

Portanto nossa Região crítica assume a seguinte forma: R C = q 0 < 2,167

Teste sob H 0 :

q 0 = 7   .   1,35 5 2 = 0,378

Como q 0 = 0,378 ∈ R C , rejeitamos H 0 , e então temos evidencias de que a variância mudou com a nova estratégia.

Passo 3

Agora temos de testar a média, considerando que a variância é desconhecida, temos a seguinte aproximação:

T = X - -   μ s 2 n   ~ t n - 1

Teste de hipótese: H 0 : μ = 24     e     H 1 : μ ≠ 2 4  

Novamente precisamos construir nossa região critica:

R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 7   o u   t 0 > t α 2 ; 7  

Onde: t 0,025 ; 7 = ± 2,365

Lembrando que na distribuição de t-student, quando temos uma RC bilateral p 2 = α 2 = 0,025 → p = 5 %

Logo, nossa região crítica assume a seguinte forma: R C = t 0 < - 2,365   o u   t 0 > 2,365

Teste sob H 0 :  

t 0 = 24,5625 - 24 1,35 8 = 1,37

Temos então t 0 = 1,37 não pertence à Região crítica, não devemos rejeitar H 0 , portanto a suspeita do escritório estava correta.

Resposta

Concluimos que o escritório estava correto quanto ao rendimento médio, e a nova estratégia realmente foi efetiva para aumentar a uniformidade dos rendimentos.

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