Enunciado

Estuda-se a relação linear entre duas variáveis X   e   Y . Uma amostra de 20 pares dessas variáveis forneceu os seguintes valores:

∑ i = 1 20 x i = 600 ; ∑ i = 1 20 y i = 2.150   ;   ∑ i = 1 20 x i 2 = 18.662 ;   ∑ i = 1 20 y i 2 = 235.270       e       ∑ i = 1 20 x i y i = 65.921  

Determine a correlação e ajuste uma reta aos dados.

Passo 1

Mais uma questãozinha de regressão linear; só que dessa vez o autor foi bonzinho demais, ta quase de graça essa.

Bom, tudo que queremos é estimar uma reta do tipo:

y ^ i = α ^ + β ^ x i

Onde α ^   e β ^ são estimadores para os coeficientes linear e angular respectivamente.

Esses estimadores podem ser obtido assim:

β ^ = n X - Y - - ∑ i = 1 n x i y i n X - 2 - ∑ i = 1 n x i 2

E

α ^ = Y - - β ^ X -

E o que queremos testar é se realmente o coeficiente angular é diferente de zero ou não; se ele for diferente de zero então as variáveis estabelecem uma relação linear. Em outras palavras:

H 0 : β = 0       c o n t r a         H 1 : β ≠ 0

Taca-lhe pau nesse carrinho aí então, lembrando que:

X - = ∑ i = 1 20 x i n = 600 20 ≅ 30

e

Y - = ∑ i = 1 20 y i n = 2150 20 ≅ 107,50

Com esses dados e os do enunciado, podemos encontrar o coeficiente de correlação:

C o r r X , Y = ∑ i = 1 8 x i   y i - n x - y - ∑ i = 1 8 x i 2 - n x - 2 ( ∑ i = 1 8 y i 2 - n y - 2 )  

Crendeuspai...

O lado bom é que temos tudo isso daí, é só substituir:

C o r r X , Y = 65921 - ( 20 ) ( 107,50 ) ( 30 ) 18662 - 20 30 2 235270 - 20 107,50 2 ≅ 0,86

Lembra que o c o r r vai sempre de zero a um, quanto mais próximo de 1 mais “alinhados” são os pontos. Ou seja, o c o r r encontrado nos dá a entender que existe sim uma relação linear entre as variáveis.

Para comprovar essa relação, vamos estimar uma reta e realizar a regressão linear.

Passo 2

E então podemos calcular a nossa reta:

β ^ = 20 30 107,50 - 65.921   20 30 2 - 18.662 ≅ 2,15

E

α ^ = 107,2 - 2,15 30 ≅ 43

Temos a seguinte estimação para a reta:

y ^ i = 4 3 + 2,15 x i

Viu como ta quase de graça?? O enunciado já deu vários dados que vamos precisar para montar a tabela de regressão, que possui a seguinte forma:

Precisaremos calcular as somas dos quadrados:

S Q r e g = ∑ i = 1 n y ^ i - Y - 2

S Q r e s = ∑ i = 1 n y i - y ^ i 2

E

S Q t o t a l = ∑ i = 1 n y i - Y - 2

Preciso confessar uma coisa... i lied.

A gente não tem os dados, ponto a ponto para encontrar y ^ i , a gente teria que substituir cada ponto de x i e obter y ^ 1 , até y ^ 20 .

Pois é pessoa vamos ter que tirar da cartola. E é da cartola mesmo. Olha só:

Partindo daqui:

S Q r e g = ∑ i = 1 n y ^ i - Y - 2

Vamos abrir isso:

∑ i = 1 20 y ^ i 2 - 2 Y - y ^ i + Y - 2 = ∑ i = 1 20 y ^ i 2 - ∑ i = 1 20 2 Y - y ^ i + ∑ i = 1 20 Y - 2

Mas perceba que Y - não varia com o somatório:

∑ i = 1 20 y ^ i 2 - 2 Y - ∑ i = 1 20 y ^ i + Y - 2 ∑ i = 1 20 1

Como não tem nada dentro do último somatório, ele nada mais é do que a soma dos i , ou seja:

∑ i = 1 20 y ^ i 2 - 2 Y - ∑ i = 1 20 y ^ i + Y - 2 20

Guarda essa informação aí com todo amor do mundo (ou não).

E resgata a reta que estamos estimando:

y ^ i = α ^ + β ^ x i

E vamos tacar um somatório ali:

∑ i = 1 20 y ^ i = ∑ i = 1 20 ( α ^ + β ^ x i )

O somatório pode entrar nos parênteses e α ^ e β ^ não tem nada a ver com isso, então teremos algo assim:

∑ i = 1 20 y ^ i = α ^ 20 + β ^ ∑ i = 1 20 x i

Já temos algo pra voltar naquela fórmula que guardamos a sete chaves no coração.

Agora, seguindo essa mesma ideia, mas antes vamos elevar os dois lados ao quadrado:

y ^ i 2 = α ^ + β ^ x i 2

E taca-lhe somatório:

∑ i = 1 20 y ^ i 2 = ∑ i = 1 20 α ^ + β ^ x i 2

E novamente abrindo o produto notável:

∑ i = 1 20 y ^ i 2 = ∑ i = 1 20 α ^ 2 + 2 α ^ β ^ + β ^ 2

Mais uma vez, α ^ e β ^ não variam com i :

∑ i = 1 20 y ^ i 2 = α ^ 2 20 + 2 β ^ α ^ ∑ i = 1 20 x i + β ^ 2 ∑ i = 1 20 x i 2

Pegou??

É isso, as somas de x i   e x i 2 o enunciado nos deu. Então se encontrarmos esses y ^ i podemos obter as somas dos quadrados.

∑ i = 1 20 y ^ i = 43 20 + 2,15 600 ≅ 2 150

E

∑ i = 1 20 y ^ i 2 = 43 2 20 + 2 2,15 43 600 + 2,15 2 18.662 ≅ 234 . 185,10

Passo 3

Lembra aquela formulazinha que pedi pra você guardar:

S Q r e g = ∑ i = 1 20 y ^ i 2 - 2 Y - ∑ i = 1 20 y ^ i + Y - 2 20

Só substituir o que acabamos de achar:

S Q r e g = 234.185,10 - 2 107,50 2150 + 107,50 2 20 ≅ 3060,10

Agora, se você se lembrar de que:

S Q t o t a l = S Q r e g + S Q r e s

Vai ser mais fácil procurarmos pelo S Q t o t a l , olha só:

S Q t o t a l = ∑ i = 1 n y i - Y - 2 = ∑ i = 1 20 y i 2 - ∑ i = 1 20 2 Y - y i + ∑ i = 1 20 Y - 2

Não confunda y i   com o y ^ i , um seriam os valores amostrais coletados; enquanto o com “chapéu” seriam os obtidos com a reta estimada. E então:

S Q t o t a l = ∑ i = 1 20 y i 2 - 2 Y - ∑ i = 1 20 y i + Y - 2 ( 20 )

Temos todos os valores, é só substituir:

S Q t o t a l = 235270 - 2 107,50 2150 + 20 107,50 2 ≅ 4145

E como o total é a soma dos do resíduo mais a regressão, para encontrar o resíduo é só subtrair:

S Q r e s = 4145 - 3060,10 = 1084,90

Agora, os quadrados médios:

Q M r e g = 3060,10 1 ≅ 3060,10

Q M r e s = 1084,90 20 - 2 ≅ 60,27

E

Q M t o t a l = 4145 20 - 1 = 218,16

E o teste:

F = 3060,10 60,27 ≅ 50,77

Finalmente nossa tabela completinha fica assim:

Com certeza você percebeu que f 0 é um valor bem grande, mas para avaliar quão grande é esse valor, podemos construir nossa região crítica adotando α = 5 % :

R C = f 0 ∈ R f 0 > f α ; p - 1 ; n - p

Portanto, teremos que buscar na tabela F a 5%, um valor f tal que:

P F > f 0,05 ; 1 ; 18 = 0,05 = α

Para tanto, basta irmos na coluna de 1 grau de liberdade e na linha de 18 graus. Lembrando que você precisa olhar na tabela de 5%.

Então nossa região crítica:

R C = f 0 > 4,41

E então, temos com muita clareza que f 0 = 50,78 pertence a nossa RC e então devemos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Podemos concluir então que realmente as duas variáveis estabelecem uma relação linear entre si.

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