Enunciado

Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares de espécie A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez, obtermos:

  1. Todos da espécie A.
  2. Nem todos serem da espécie B.
  3. A maioria ser da espécie A.

Passo 1

Temos uma situação que segue o modelo Hipergeométrico, onde temos dois grupos e serão retirados “objetos” desse grupo ao acaso, sem reposição, assim teremos a seguinte função de probabilidade:

P X = k = m k n - m r - k n r ,   k = 0 ,   1 ,   … ,   m i n ⁡ ( r , m )

Temos que nossos parâmetros serão, o total de jacarés n = 9 , o número de jacarés da espécie A m = 4 , e o número de espécies retiradas r = 3 .

Assim, em (a), queremos saber a probabilidade de todos os jacarés serem da espécie A, assim:

P A = 3 = 4 3 5 0 9 3

P X = 3 = 4 ! 3 ! 1 ! ⋅ 5 ! 0 ! 5 ! 9 ! 3 ! 6 ! = 4 84 = 0,0476

Passo 2

Em (b), queremos saber a probabilidade de nem todos serem da espécie B, ou seja, pelo menos um jacaré ser da espécie A, assim:

P 1 ≤ X ≤ 2 = P X = 1 + P X = 2

P 1 ≤ X ≤ 2 = 4 1 5 2 9 3 + 4 2 5 1 9 3

P 1 ≤ X ≤ 2 = 4 ! 3 ! 1 ! ⋅ 5 ! 2 ! 3 ! 9 ! 3 ! 6 ! + 4 ! 2 ! 2 ! ⋅ 5 ! 1 ! 4 ! 9 ! 3 ! 6 ! = 40 84 + 30 84 = 0,833

Passo 3

Em (c) queremos a probabilidade da maioria ser da espécie A, como foram retiradas 3 espécies, 2 tem de ser de A, assim:

P X = 2 = 4 2 5 1 9 3 = 4 ! 2 ! 2 ! ⋅ 5 ! 1 ! 4 ! 9 ! 3 ! 6 ! = 30 84 = 0,357

Resposta

  1. 0,0476;
  2. 0,833;
  3. 0,357.
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