Enunciado

O exemplo a seguir ilustra que ρ = 0 não implica independência. Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade conjunta dada pela Tab. 7.1.

Mostre que E X Y = E X E Y e consequentemente ρ = 0 . Explique por que X e Y não são independentes. Mostre que este exemplo pode ser generalizado como se segue.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o nosso coeficiente de correlação, a independência e a generalização. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

E X Y = E X E Y

f x , y ≠ p x q ( x )

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

E X = ∑ x p ( x )

E X = ∫ x   f x d x

V X = E X 2 - E X 2

Com isso, podemos começar a pensar.

E X Y = 1 8 - 1 - 1 + - 1 0 + - 1 1 + 0 - 1 + 0 1 + 1 - 1 + 1 0 + 1 1 = 0

E X = 0

E X Y = E X E Y

f x , y ≠ p x q ( x )

f 1,1 = 1 8 ≠ p x q x = 9 64

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nosso coeficiente!!

E X Y = k - 1 - 1 a + - 1 0 b + - 1 1 a + 0 - 1 b + 0 1 b + 1 - 1 a + 1 0 b + 1 1 a = 0

E X = 0

Resposta

E X Y = E X E Y

f 1,1 = 1 8 ≠ p x q x = 9 64

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