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Exercícios Resolvidos de Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros - 4.Exercícios - 79

Suponha que as contagens registradas por um contador Geiger sigam o processo de Poisson, com uma média de duas contagens por minuto.

  1. Qual é a probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos?
  2. Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 segundos?
  3. Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2 minutos depois no início?

Passo 1

Seja X   a variável aleatória exponencial decorrente do processo de Poisson com a taxa λ = 2 contagens por minuto. Sua função de distribuição cumulativa é então dado por:

F ( x ) = 1 - e - 2 x ,   x ≥ 0

Letra a:

X pode ser interpretado como o tempo aleatório do primeiro intervalo, então podemos calcular:

P ( X > 30   s e g u n d o s ) = P ( X > 0.5   m i n u t o s ) = 1 - F ( 0.5 ) = e - 2 × 0.5 = e - 1   ≈   0.37

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Passo 2

Letra b:

P ( X < 30   s e g u n d o s ) = P ( X < 1.6   m i n u t o s ) = F ( 1 / 6 ) = 1 - e - 2 × 1 / 6 = 1 - e - 1 / 3   ≈   0.28

Passo 3

Letra c:

P ( 1 < X < 2 ) = F ( 2 ) - F ( 1 ) = e - 2 × 1 - e - 2 × 2 ≈ 0.117

Resposta

  1. 0.37
  2. 0.28
  3. 0.117

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