Enunciado

Foi feito um levantamento, durante n = 10 meses, a respeito do faturamento total de uma empresa Y , em milhões de cruzeiros, em função do valor das vendas de dois de seus produtos X 1 e X 2 , também em milhões de cruzeiros.

Efetuando os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão obteve-se:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear simples (só com X 1 ).

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Como no enunciado queremos a equação da regressão linear simples de Y em função de X 1 , a equação da reta será:

Y ^ = a + b X 1

Para encontrarmos os valores de a e b , iremos utilizar as equações:

Para isso, vamos calcular as médias ( Y e X 1 ) pelas seguintes equações:

Precisamos da variância de X 1 :

S 11 = ∑ X 1 2 - ∑ X 1 2 n

E as covariâncias:

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do enunciado temos os seguintes dados:

n = 10   m e s e s

Primeiramente, vamos calcular as médias de Y e X 1 , respectivamente:

Y - = 194 10 = 19,4

X - 1 = 50 10 = 5,0

O cálculo da variância de X 1 :

S 11 = 256 - 50 2 10 = 6,0

E as covariâncias:

S Y 1 = 992 - 194 ∙ 50 10 = 22,0

S 21 = S 12 = 102 - 50 ∙ 20 10 = 2,0

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b e a :

b = 22,0 6,0 = 3,67

a = 19,4 - 3,67 ∙ 5,0 = 1,05

Por fim, temos a regressão linear simples de Y em função de X 1 :

Y ^ = 1,05 + 3,67 ∙ X 1

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = 1,05 + 3,67 ∙ X 1 .

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