Enunciado

A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = e - ( x + y )   0 ≤ x ≤ ∞ ,   0 ≤ y < ∞

Determine (a) P{X

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Para calcularmos, vamos jogar na fórmula:

∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f x , y d y d x = ∫ 0 ∞ ∫ 0 x e - ( x + y ) d y d x

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 0 ∞ ∫ 0 x e - x e - y d y d x = ∫ 0 ∞ e - x - e - y 0 x d x

- ∫ 0 ∞ e - x e - y 0 ∞ d x = - ∫ 0 ∞ e - x ( e - x - 1 ) d x

- ∫ 0 ∞ e - x e - y 0 ∞ d x = - ∫ 0 ∞ e - 2 x - e - x d x

Agora vamos integrar em relação a x :

- ∫ 0 ∞ e - 2 x - e - x d x = - - e - 2 x 2 + e - x 0 ∞ = 1 2

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Aqui temos que calcular a função densidade de X:

f X x = ∫ 0 ∞ f x , y d y

f X x = ∫ 0 ∞ ( e - x e - y ) d y = e - x - e - y 0 ∞

f X x = e - x

Logo:

P X < a = 1 - e - a

Resposta

a )   1 2

b ) 1 - e - a

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