Enunciado

A função de probabilidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela seguinte tabela de dupla entrada.

  1. Verifique se E X Y = E X E Y .
  2. X e Y são independentes? Comente.

Passo 1

Vamos montar uma tabela de XY e também a sua função de probabilidade, assim:

Temos que a esperança é dada por:

E X = ∑ x ⋅ p ( x )   o u   E Y = ∑ y ⋅ p ( y )   o u   E X , Y = ∑ ( x y ) ⋅ p ( x y )

Assim, teremos que:

E X Y = 1 4 + - 1 4 = 0

Fazendo a função de probabilidade das marginais de X e Y, teremos:

Daí, suas esperanças serão:

E X = 3 8 + - 3 8 = 0

E Y = 3 8 + - 3 8 = 0

Daí, podemos dizer que E X Y = E X E ( Y ) , pois:

E X Y = 0 = E X E ( Y )

Passo 2

Não podemos afirmar que elas são independentes por E X Y = E X E ( Y ) . Pois o que vale é, se as variáveis são independentes então por E X Y = E X E ( Y ) , mas não ao contrário.

Assim, vamos montar a tabela de dupla entrada com as marginais, para verificarmos se são ou não independentes, daí:

Observe que, ao fazermos P X = 0 ∩ Y = 0 = 0 ≠ P X = 0 P Y = 0 = 1 / 2 , assim, provamos que elas não são independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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