Enunciado

Um importante fator no combustível sólido de um míssil é a distribuição do tamanho de partículas. Problemas significativos podem ocorrer se o tamanho das partículas for muito grande. Dos dados de produção obtidos no passado, foi determinado que a distribuição do tamanho da partícula (em micrometros) é caracterizada por

f x = 3 x - 4 ,                                         x > 1 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

(a) Verifique que essa é uma função densidade válida.

(b) Avalie F ( x ) .

(c) Qual é a probabilidade de que uma partícula aleatória de um combustível manufaturado exceda 4 micrometros?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para que a função de densidade seja válida, ela deve respeitar a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

E para calcularmos a função de densidade acumulada, temos:

F x = P X ≤ x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Verificando a validade da função de densidade pela fórmula do Passo 1:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

∫ 1 ∞ 3 x - 4 d x = 1

- 1 x 3 1 ∞ = 1

- 1 ∞ 3 + 1 = 1

- 0 + 1 = 1

1 = 1

Logo, a função é válida.

Passo 3

O enunciado nos pede encontrarmos a função de densidade acumulada, pela fórmula do Passo 1:

F ( x ) = ∫ 1 x 3 t - 4 d t

= - 1 t 3 1 x 1

= - 1 x 3 - - 1 1 3

F x = 1 - 1 x 3

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade de que a partícula seja maior do que 4 micrometros. Logo, temos que achar P ( X > 4 ) .

Usando a definição de complemento.

P X > 4 = 1 - P ( X ≤ 4 )

= 1 - F ( 4 )

= 1 - 1 - 1 4 3

= 1 - 1 + 1 64

P X > 4 = 1 64

Resposta

(a) A função é válida

(b) 1 - 1 / x 3

(c) 1 / 64

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