Enunciado

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Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:

(a) nenhum defeituoso?

(b) exatamente um defeituoso?

(c) exatamente dois defeituosos?

(d) não mais do que dois defeituosos?

Passo 1

Primeiro precisamos determinar os parâmetros n e p da distribuição binomial.

n = 4   t a m a n h o   d a   a m o s t r a

p = 1 10 = 0,1   u m   a r t i g o   d e f e i t u o s o   e n t r e   d e z

Seja X o número de artigos defeituosos numa amostra aleatória de tamanho 4. Tem-se que X   ~   b ( 4 ;   0,10 ) .

Lembrando da fórmula da Binomial

P X = k = n k   p k q n - k ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n

Agora basta calcularmos as probabilidades pedidas em cada alternativa 😊.

Passo 2

(a) Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha nenhum defeituoso?

Se queremos nenhum artigo defeituoso, isto quer dizer X = 0 . Portanto

P X = 0 = 4 0 ×   ( 0,1 ) 0 × ( 0,9 ) 4 = 0,6561

Passo 3

(b) Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha exatamente um defeituoso?

Exatamente um defeituoso significa que X = 1 , portanto

P X = 1 = 4 1 ×   ( 0,1 ) 1 × ( 0,9 ) 3 = 0,2916

Passo 4

(c) Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha exatamente dois defeituosos?

Exatamente dois defeituosos significa que X = 2 , portanto

P X = 2 = 4 2 ×   ( 0,1 ) 2 × ( 0,9 ) 2 = 0,0486

Passo 5

(d) Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha não mais do que dois defeituosos?

Não mais que dois defeituoso significa que X ≤ 2 , portanto

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963

Resposta

(a) P X = 0 = 0,6561

(b) P X = 1 = 0,2916

(c) P X = 2 = 0,0486

(d) P X ≤ 2 = 0,9963

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