Enunciado

Para a marca de referência do Conselho de desempenho do processamento da transação do exercício. 10, sejam X, Y e Z e o número médio de operações que seleciona, atualiza e insere requerido para cada tipo de transação, respectivamente. Calcule o seguinte:

  1. covariância entre X e Y.
  2. Correlação entre X e Y.
  3. Covariância entre X e Z.
  4. Correlação entre X e Z.

Passo 1

Primeiro, observe que X, Y e Z denotam o número médio de seleções, atualizações e inserções, respectivamente, que são variáveis ​​aleatórias discretas. Usando a tabela na página 179, as distribuições de probabilidade conjunta para cada combinação de duas variáveis ​​é dada e nós precisamos apenas do seguinte:

para variáveis ​​aleatórias X e Y, e

para variáveis ​​aleatórias X e Z.

A partir das tabelas acima, as distribuições marginais para variáveis ​​aleatórias X, Y e Z são dados com:

X : 23.0 4.2 11.4 130 0 0.43 0.44 0.04 0.05 0.04

Y : 11 3 0 120 0.43 0.44 0.08 0.05

Z : 12 1 0 0.43 0.44 0.13

Passo 2

Calculamos as distribuições marginais por definição:

P ( X = x ) = ∑ y ∈ Ω   P ( X = x , Y = y )

Pela definição, por exemplo:

P ( Y = 0 ) = P ( Y = 0 , X = 23 ) + P ( Y = 0 , X = 4.2 ) + + P ( Y = 0 , X = 11.4 ) + P ( Y = 0 , X = 130 ) + P ( Y = 0 , X = 0 ) = 0 + 0 + 0.04 + 0 + 0.04 = 0.08

Observe que na verdade é a soma da quarta coluna. Temos outras probabilidades para a variável aleatória Y somando as probabilidades em colunas. O mesmo obtemos com as probabilidades para Z, mas olhando para a segunda tabela. Para obter as probabilidades para X somamos as probabilidades em linhas. Nota: não some o valores na primeira coluna e linha, apenas as probabilidades.

A definição da covariância entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é

σ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) = E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ] = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )

A fim de calcular a covariância entre X e Y, precisamos calcular E ( X Y ) ,   E ( X )   e   E ( Y )   , de modo semelhante, para calcular a covariância entre X e Z, também precisamos de E ( X Z ) e E ( Z ) . A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) , então o seguinte é válido:

E ( X ) = ∑ i   ∈   { 1,2 , 3,4 , 5 }   x i P X = x i = 23.0 × 0.43 + 4.2 × 0.44 + 11.4 × 0.04 + 130 × 0.05 + 0 × 0.04 = = 9.89 + 1.848 + 0.456 + 6.5 + 0 = = 18.694

E ( Y ) = 11 × 0.43 + 3 × 0.44 + 0 × 0.08 + 120 × 0.05 = 4.73 + 1.32 + 0 + 6 = = 12.05 E ( Z ) = 12 × 0.43 + 1 × 0.44 + 0 × 0.13 = 5.16 + 0.44 + 0 = = 5.6

Para calcular E ( X Y ) , observe que X Y é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como f ( X , Y ) = X Y , nós sabemos que:

E ( f ( X , Y ) ) = ∑ i   ∑ j   f x i , y j P X = x i , Y = y j

Passo 3

Da tabela de distribuição conjunta temos:

E ( X Y ) = ∑ i   ∑ j   x i y i P X = x i , Y = y j = = 23 × 11 × 0.43 + 4.2 × 3 × 0.44 + 11.4 × 0 × 0.05 + 130 × 120 × 0.05 + 0 × 0 × 0.04 = = 894.334

onde as outras partes não foram incluídas porque as probabilidades são 0, então todo o produto é 0. Da mesma forma, temos:

E ( X Z ) = 23 × 11 × 0.43 + 4.2 × 1 × 0.44 = 110.638

Agora temos tudo para calcular a covariância mas antes de fazermos, vamos ver o que

precisamos para correlação.

A correlação entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é definida como:

ρ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) V ( X ) V ( Y )

onde V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E X 2 - ( E ( X ) ) 2

A única coisa que falta calcular é E ( X 2 ) ,   E ( Y 2 )   e   E ( Z 2 ) . Como sabemos as distribuições de X, Y e Z, as distribuições de X 2 ,   Y 2   e   Z 2 são o seguinte:

X 2 : 529 17.64 129.96 16900 0 0.43 0.44 0.04 0.05 0.04 Y 2 : 121 9 0 14400 0.43 0.44 0.08 0.05 Z 2 : 144 1 0 0.43 0.44 0.13 ;

Acontece que para cada variável aleatória discreta, só precisamos elevar ao quadrado os valores x i ,   y i ou z i ( 2 3 2 = 529 e t c ) e deixe as probabilidades iguais. As expectativas e variações são:

E X 2 = 1085.43 E Y 2 = 775.99 E Z 2 = 62.36 ; V ( X ) = 1085.43 - ( 18.694 ) 2 = 735.9644 V ( Y ) = 775.99 - ( 12.05 ) 2 = 630.7875 ; V ( Z ) = 62.36 - ( 5.6 ) 2 = 31

Passo 4

Letra a:

A covariância entre X e Y é:

c o v ⁡ ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) = 894.334 - 18.694 × 12.05 = 669.0713

Passo 5

Letra b:

A correlação entre X e Y é:

ρ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) V ( X ) V ( Y ) = 669.0713 735.9644 × 630.7875 = 0.98198

Passo 6

Letra c:

A covariância entre X e Z é:

c o v ⁡ ( X , Z ) = E ( X Z ) - E ( X ) E ( Z ) = 110.638 - 18.694 × 5.6 = 5.9516

Passo 7

Letra d:

A correlação entre X e Z é:

ρ X Y = c o v ⁡ ( X , Z ) V ( X ) V ( Z ) = 5.9516 735.9644 × 31 = 0.039403

Resposta

a) 669.0713

b) 0.98198

c) 5.9516

d) 0.039403

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