Enunciado

Em um modelo de efeitos fixos, suponha que existam n observações para cada um dos quatro experimentos. Sejam Q 1 2 , Q 2 2 e Q 3 2 as somas dos quadrados, com graus de liberdade iguais a um, para contrastes ortogonais. Um contraste é uma combinação linear das médias dos tratamentos, com coeficientes que somam zero. Os vetores dos coeficientes de contrastes ortogonais são vetores ortogonais. Prove que S Q T r a t a m e n t o s = Q 1 2 + Q 2 2 + Q 3 2 .

Passo 1

Bom galera, O número de tratamentos é igual a quatro e consideramos um espaço quadridimensional. A distância quadrada da origem até o ponto ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) é dada pela soma dos quadrados de suas coordenadas.

S 2 = ∑ i = 1 4 y i . 2

Note que cada contraste ortogonal também é ortogonal à linha de 45 ° , ou seja, a linha com o vetor direção ( 1,1 , 1 ) , pois seus coeficientes somam zero. Assim, em vez de eixos padrão, podemos pegar os quatro seguintes: Uma linha de 45 ° e três contrastes ortogonais.

Passo 2

Belezainha, denotamos os contrastes ortogonais como α 1 j , α 2 j , α 3 j , α 4 j , j = 1,2 , 3 . A equação para o quadrado da distancia entre a origem ao ponto ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) é dado pela soma de 4 quadrados pelo produto do vetor ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) com a unidade vetorial de novos eixos.

S 2 = ∑ i = 1 4 α i 1 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 1 2 + ∑ i = 1 4 α i 2 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 2 2 + ∑ i = 1 4 α i 3 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 3 2 + ∑ i = 1 4 1 y i . 2 ∑ i = 1 4 1 2

Desenvolvendo o ultimo termo da equação:

∑ i = 1 4 1 y i . 2 ∑ i = 1 4 1 2 = 1 4 ∑ i = 1 4 y i . 2 = y . . 2 4

Onde y . . é o total.

Passo 3

Show de bola, agora a gente divide ambas as equações S 2 por n , usando o fator 4 n = N .

∑ i = 1 4 y i . 2 n = ∑ i = 1 4 α i 1 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 1 2 + ∑ i = 1 4 α i 2 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 2 2 + ∑ i = 1 4 α i 3 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 3 2 + y . . 2 4 n

∑ i = 1 4 y i . 2 n - y . . 2 N = ∑ i = 1 4 α i 1 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 1 2 + ∑ i = 1 4 α i 2 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 2 2 + ∑ i = 1 4 α i 3 y i . 2 ∑ i = 1 4 α i 3 2

S S T r = Q 1 2 + Q 2 2 + Q 3 2

Resposta

S S T r = Q 1 2 + Q 2 2 + Q 3 2

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