Enunciado

Uma indústria fabrica tanques para combustível e sabe-se que cada tanque possui 5 válvulas. A cada período determinado de tempo é feita uma manutenção preventiva nessas válvulas, e tem-se verificado que 30% delas necessitam ser substituídas. Calcular a probabilidade de:

  1. um tanque ter no máximo 3 válvulas que necessitam substituição;
  2. exatamente 4 tanques, de um conjunto de 6 tanques, apresentarem exatamente 2 válvulas por tanque que necessitam substituição.

Passo 1

Oi pessoal, estou feliz em te ver aqui de novo! Vamos relembrar algumas teorias!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = C n ,       x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n ,       x = n x = n ! x ! n - x !

Então nossa equação irá ficar:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Do enunciado temos os seguintes dados:

  • n = 5
  • p = 0,30
  • q = 1 - 0,30 = 0,70

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de um tanque ter no máximo 3 válvulas que necessitam substituição, ou seja P ( x ≤ 3 ) .

  • Quando um tanque não tem válvula que precisa de substituição:
  • P 0 = 5 ! 0 ! 5 ! ∙ 0,30 0 ∙ 0,70 5 = 0,168

  • A probabilidade de um tanque ter 1 válvula que precisa de substituição:
  • P 1 = 5 ! 1 ! 4 ! ∙ 0,30 1 ∙ 0,70 4 = 0,360

  • Para 2 válvulas que precisam de substituição:
  • P 2 = 5 ! 2 ! 3 ! ∙ 0,30 2 ∙ 0,70 3 = 0,309

  • E para 3 válvulas que precisam de substituição:

P 3 = 5 ! 3 ! 2 ! ∙ 0,30 3 ∙ 0,70 2 = 0,132

Portanto a probabilidade de um tanque ter no máximo 3 válvulas que necessitam de substituição:

P x ≤ 3 = P 0 + P 1 + P 2 + P ( 3 ) = 0,969

P x ≤ 3 = 96,9 %

Passo 2

No item b) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de um tanque apresentar exatamente duas válvulas por tanque que necessitam substituição. Calculamos este valor no Passo 1:

P 2 = 0,309

Agora iremos calcular a probabilidade de exatamente 4 tanques, de um conjunto de 6 tanques, apresentarem exatamente 2 válvulas por tanque que precisam de substituição:

  • n = 6
  • x = 4
  • p = 0,309
  • q = 1 - 0,309 = 0,691

P x = 4 = 6 ! 4 ! 6 - 4 ! ∙ 0,309 4 ∙ 0,691 6 - 4 = 0,065

P x = 4 = 6,5 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. P x ≤ 3 = 96,9 % ;
  2. P x = 4 = 6,5 % .

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