Enunciado

O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.

(a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

(c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia?

Passo 1

Estamos trabalhando com a distribuição de Poisson, certo? Mas é a distribuição de qual variável?

X = número de petroleiros que chegam à refinaria em um dia.

Pelo enunciado temos que X ~ P o i s s o n 2 .

(a) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

Bom, pelo enunciado sabemos que se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto, portanto queremos P ( X > 3 )

Passo 2

Temos que

P X > 3 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 = 1 - 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 ] = 1 - [ 0,8571 = 0,1429 .

Passo 3

(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

Queremos saber quantas instalações devemos aumentar para atender todos os navios na maioria dos dias, em que pelo menos 95% dos dias.

Se a nossa variável aleatória X é a quantidade de petroleiros que chegam ao nosso porto e podemos chamar de x 0 a quantidade de instalações no mesmo, para aceitar um petroleiro precisamos que X ≤ x 0 , certo?

E se queremos que a probabilidade de aceitar seja no mínimo 95%, queremos que:

P X ≤ x 0 ≥ 0,95

Como desconhecemos x 0 precisamos ir na tentativa mesmo. O que queremos é um x 0 em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%.

Bom, sabemos pelo item anterior que P X ≤ 3 = 0,8571

Vamos tentar X ≤ 4 ,   5 ,   … .

P X ≤ 4 = 0,947

P X ≤ 5 = 0,983

Opa! Encontramos o valor de x 0 .

Como no caso queremos saber quantas instalações A MAIS devemos ter e sabemos que temos apenas 3, precisamos colocar mais DUAS!

Passo 4

(c) Numa distribuição de Poisson, a média é dada pelo parâmetro E X = λ = 2 .

Resposta

(a) P X > 3 = 0,1429 .

(b) Duas instalações.

(c) 2.

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