Enunciado

O preço unitário de mudas de laranjeira (em reais), em atacadistas especializados, é uma variável aleatória que se pretende modelar pela normal. Com base nos dados apresentados na tabela a seguir, teste a hipótese de que o modelo normal é adequado a esse caso, considerando um nível de significância de 5 % .

Passo 1

Oi deus, sou eu denovo!

Bora para mais um teste de aderência, dessa vez para a variável:

X = p r e ç o   u n i t á r i o   d a s   m u d a s   e m   r e a i s .

E deveremos realizar o seguinte teste:

H 0 : X ~ N o r m a l μ ; σ 2         c o n t r a         H 1 : X   s e g u e   o u t r o   m o d e l o

Sempre bom relembrar, que realizamos o teste aproximando por uma distribuição Q u i - q u a d r a d o , da seguinte forma:

Q 2 = ∑ i = 1 t o i - E i 2 E i ~ X t - 1 2 d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - q u a d r a d o   c o m   t - 1 g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde t representa a quantidade de inteervalos, no nosso caso t = 8 intervalos. E o i é a frequência observada em cada intervalo.

Já o E i é a frequência ESPERADA para cada intervalo se essa variável realmente tivesse a distribuição sugerida; ou seja, temos de encontrar esse valor.

Antes de sair calculado as frequências esperadas note que precisamos dos parâmetros μ     e     σ , que não foram dados pelo enunciado; o que é um baita de um vacilo porque vamos ter que calcular isso com base na tabela dada.

Passo 2

Não sei se você lembra como fazemos isso, basicamente teremos que encontrar o ponto médio de cada intervalo para usar como o “representante” daquele intervalo, então vamos começar fazendo isso; para facilitar fiz outra tabela já com os pontos médios de cada intervalo:

Cabe lembrar, caso tenha esquecido, que para obter o ponto médio de cada intervalo basta pegar os dois valores, somar e dividir por 2.

Então agora, vamos atrás da média e da variância:

μ ^ = ∑ i = 1 8 f i   .     x i ∑ i = 1 8 f i = 23 0,55 + 36 0,625 + … + ( 14 ) ( 0,95 ) 23 + 36 + … + 14 = 337,525 450 ≅ 0,750

E

σ ^ 2 = ∑ i = 1 8 x i - μ ^ 2   f i t - 1

σ ^ 2 = 0,55 - 0,750 2 * 23 + 0,625 - 0,750 2 * 36 + … + 0,95 - 0,750 2 * 14 8 - 1 =

σ ^ 2 ≅ 3,63 7 ≅ 0,52

Orra bicho! Cansamo já! Mas só agora podemos calcular a frequência esperada:

E 1 = 450   .   P 0,50 < X < 0,60

Lembrando que, temos de usar a aproximação pela normal PADRÃO, que possui a seguinte forma:

Z = X - - μ ^ σ ^ 2 n ~ N 0,1  

Portanto, fazendo essa substituição na probabilidade:

E 1 = 450   .   P 0,5 - 0,750 0,52 8 < Z < 0,60 - 0,750 0,52 8

E

E 1 = 450   .   P - 0,98 < Z < - 0,59  

Agora basta olhar na tabela de distribuição normal, lembrando sempre que ela mostra as probabilidades de P 0 ≤ Z ≤ z .

Portanto, para este caso você terá que pegar:

P 0 ≤ Z ≤ 0,98 - P 0 ≤ Z ≤ 0,59 = P - 0,98 ≤ Z ≤ - 0,59

Chegaremos em:

P - 0,98 ≤ Z ≤ - 0,59 ≅ 0,11406

Portanto:

E 1 = 450 * 0,11406 ≅ 51,33

E assim para cada fucking intervalo....

Eu sei! Mas repara o seguinte, você vai precisar fazer só até:

E 4 = 450 * P 0,70 ≤ X ≤ 0,750

Aproximando pela normal:

E 4 = 450 * P - 0,19 ≤ Z ≤ 0 ≅ 33,91

Mas por que?? Porque a partir disso os valores vão começar a se repetir... olha na tabelinha abaixo como fica:

Percebeu? Já é uma ajuda né?!

Passo 3

Agora, vamos definir nossa região crítica:

R C = q o b s ∈ R q o b s ≥ q 0,05 }  

Vamos ter de buscar na tabela de distribuição qui-quadrado, um valor q 0,05 , tal que:

P X 0,05 2 ≥ q 0,05 = α = 5 %

Uma observação muito importante.... a partir de agora só vamos usar a tabela Qui-quadrado; esquece a tabela Normal agora; usamos ela só para encontrar as frequencias esperadas. BLZ?

Para achar o mininu q 0,05 vamos ter de olhar na coluna que representa 5% e na linha que nos da 8 - 1 - 2 = 5   graus de liberdade.

Eita!! Por que??

O certo seria só ( 8 - 1 ) , né!? Mas acontece o seguinte, você reparou que tivemos que estimar dois parâmetros para realizar o teste?? O Enunciado não nos deu μ nem σ , tivemos que tirar da cartola...aí toda vez que isso acontece, retiramos um grau de liberdade.

Então como tivemos que estimar dois parâmetros, usaremos 8 - 1 - 1 ⏟ μ - 1 ⏟ σ 2 = 5

Buscando na tabela então:

Ou seja, nossa RC terá a seguinte forma:

R C = q o b s ≥ 11,070

Bom, agora só falta encontrar o diaxo daquele q o b s , bora lá:

q o b s = 23 - 51,33 2 51,33 + 36 - 31,80 2 31,80 + … + 45 - 31,80 2 31,80 + 14 - 51,33 2 51,33 ≅ 360,2

Se estivermos certos esses caras erraram feio o modelo em!

Mas é isso então, como q o b s pertence e pertence muito à nossa RC, devemos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Concluímos que existem evidências de que o modelo normal não é, nem de perto, o modelo adequado para estudar o preço unitário das mudas.

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