Enunciado

Um processo de produção produz peças de componentes eletrônicos. Foi estabelecido que, supostamente, a probabilidade de uma peça defeituosa é de 0,01. Durante um teste dessa suposição, 500 itens são amostrados aleatoriamente e são encontrados 15 defeituosos entre os 500 amostrados.

(a) Qual é sua resposta para a suposição de que o processo tem 1 % de itens defeituosos? Tenha a certeza de que uma probabilidade calculada acompanha seu comentário.

(b) Sob a suposição de 1% de itens defeituosos no processo, qual é a probabilidade de que somente três itens sejam considerados defeituosos?

(c) Faça (a) e (b) novamente usando a aproximação de Poisson.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar X para representar o número de itens defeituosos entre 500 itens selecionados aleatoriamente.

Nós vamos considerar como sucesso um item defeituoso. Então, a probabilidade de sucesso é p = 0,0 1 .

A variável X tem distribuição binomial com parâmetros n = 500 e p = 0,01 .

A função massa de probabilidade é:

P X = x = b x ; 500 ,   0,01 = 500 x 0,01 x 0,99 500 - x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Assumindo que a presunção é correta, a probabilidade de obter 15 itens defeituosos entre 500 itens selecionados aleatoriamente é:

P X = 15 = 500 15 0,01 15 0,99 500 - 15 = 0,0001442

Sendo assim, apenas 0,01442 % do tempo, ou seja, bem próximo de 0 .

Portanto, a afirmação dos fabricantes não é verdadeira.

Passo 3

Assumindo que a presunção é correta, a probabilidade de obter 3 itens defeituosos entre 500 itens selecionados aleatoriamente é:

P X = 15 = 500 3 0,01 3 0,99 500 - 3 = 0 , 14023

Passo 4

Para a aproximação de Poisson, nós temos o parâmetro μ = n p = 500 0,01 = 5 .

E sua função massa de probabilidade é:

p x ; μ = e - 5 5 x x !

Sendo assim, a aproximação da probabilidade da letra (a) é:

P X = 15 = e - 5 5 15 15 ! = 0,0001572

Para a letra (b), temos:

P X = 3 = e - 5 5 3 3 ! = 0,140374

Resposta

a) 0 , 0001442

b) 0 , 14023

c) (a) 0,0001572 (b) 0,140374

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