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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 6.Problemas - 20

Para os exercícios (a) a (e) abaixo, considere o enunciado: Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para essas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.

(a) De uma urna com dez bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. X é o número de bolas brancas nas cinco extrações.

(b) Refaça o problema anterior, mas dessa vez as n extrações são sem reposição.

(c) Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final.

(d) Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.

(e) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça. Cada peça é classificada como boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja o número de peças defeituosas.

Passo 1

Primeiro precisamos saber o que é essa tal distribuição binomial.

De modo geral

A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli.

Putz... mas quem é esse tal de Bernoulli?

Um processo é de Bernoulli quando:

só existem dois resultados (sucesso e fracasso);

os eventos são independentes;

a probabilidade de sucesso é a mesma para cada evento.

Vamos designar por X o número total de sucessos em n ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p, 0 p X são 0, 1, 2, ..., n e os pares (k, p(k)), onde p(k) = P(X = k), constituem a chamada distribuição binomial.

Usaremos a notação X   ~   b ( n , p )

Fechou? Agora sabemos o que é uma distribuição binomial.

Beleza... mas é a função de probabilidade?

A fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:

P X = k = n k   p k q n - k ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n

Onde,

k = número de sucessos, em n tentativas

n - k = número de fracassos, em n tentativas

p = probabilidade de sucesso em uma tentativa

q = probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: q = 1 - p )

n k = número de resultados experimentais que fornecem exatamente k sucessos em n ensaios (em Matemática, chamamos de combinação simples ou número binomial).

Galerinha, uma coisa que nunca podemos esquecer é que

A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição (ou repetição).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Opa, é uma clara distribuição binomial com os parâmetros n = 5   e p = 10 30 = 1 3 . Logo

X ~ b 5 , 1 3

P X = k = 5 k × 1 3 k × 2 3 n - k   ; k = 0,1 , 2 , … , 5

Passo 3

(b) Lembra o que nunca podemos esquecer? A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição. Logo a variável X não tem distribuição binomial, pois as extrações são feitas SEM reposição, ou seja, a probabilidade de sucesso não é a mesma em todos as extrações.

Passo 4

(c) A variável X terá distribuição binomial apenas se a proporção de bolas brancas for a mesma em todas as urnas.

Passo 5

(d) Novamente, a variável em estudo terá distribuição binomial apenas se a proporção de pessoas com opinião contrária ao projeto for a mesma nas 10 cidades pesquisadas.

Passo 6

(e) Neste caso, as máquinas têm que funcionar independente e apresentar uniformidade quanto à produção de peças defeituosas, ou seja, a probabilidadede se obter uma peça com defeito tem de ser a mesma em todas as máquinas.

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