Enunciado

De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se:

(c) houver 4 homens e 4 mulheres e não for permitido que dois homens ou duas mulheres se sentem em posições adjacentes?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos entender mais um pouco sobre o Principio Fundamental da Contagem (PFC).

Aqui temos 4 garotos e 4 garotas e há a restrição de que pessoas do mesmo sexo não podem estar juntas. Então vamos raciocinar um pouco.

Lembre-se que se não podemos colocar pessoas do mesmo sexo juntas, ao escolher um menino para estar em uma posição, necessariamente ao lado dele só estarão meninas.

Vamos imaginar essas 8 posições que essas 8 pessoas vão sentar:

E vamos colocando uma a uma respeitando as condições de que não podemos colocar um menino e uma menina um ao lado do outro.

Passo 2

Para a primeira pessoa dessa fila podemos escolher qualquer uma das 8 pessoas, então há 8 possibilidades (4 meninos + 4 meninas).

Essa pessoa escolhida pode ser de qualquer sexo. Caso ela seja menino a pessoa ao lado tem que ser menina, e existem necessariamente 4 meninas restando já que o primeiro escolhido foi um menino.

E analogamente, caso essa primeira pessoa seja menina restarão 4 meninos para serem escolhidos para ser colocado ao lado dela. Assim há necessariamente 4 formas de se escolher esta segunda pessoa.

Passo 3

Agora para a 3ª pessoa, basta lembrarmos que das oito pessoas, necessariamente um menino e uma menina já foram escolhidos, então sobraram seis pessoas que ainda não estão na fila. Sendo 3 meninos e 3 meninas.

Lembrando que nenhuma pessoa pode ser do mesmo sexo que a pessoa ao seu lado vamos ter 3 possibilidades para este 3º lugar, independentemente do segundo ser menino ou menina.

Seguindo o raciocínio análogo do passo anterior, tinham 3 meninos e 3 meninas restando antes de escolher esta 3ª pessoa, e independente de quem eu escolher, o próximo será do sexo oposto onde só há 3 possibilidades.

Então para a 4ª posição há 3 possibilidades.

Passo 4

Agora já foram escolhidos dois meninos e duas meninas, restando somente 2 meninos e 2 meninas.

Para a 5ª posição podemos escolher somente a pessoa de sexo oposto à da 4 ª posição, restando 2 possibilidades para esta posição.

E novamente só temos 2 outras pessoas do sexo oposto a pessoa da 5ª posição.

Passo 5

Agora já foram escolhidos três meninos e três meninas, restando somente 1 menino e 1 menina.

Para as duas ultimas posições teremos que colocar a pessoa de sexo oposto a anterior restando uma possibilidade para cada.

Passo 6

Como tivemos que escolher a primeira pessoa e a segunda pessoa ... e a sétima pessoa e a oitava pessoa, pelo PFC precisamos multiplicar todas as possibilidades de cada posição para obter o número total de possibilidades:

8 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1152

Resposta

4 garotos e 4 garotas podem sentar-se alternadamente de 1152 maneiras diferentes em uma fila.

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