Enunciado

Reconsidere o problema de secagem de pintura discutido no Exemplo 8.2. As hipóteses eram H 0   : μ = 75 versus H a   : μ < 75 , com σ assumido para ter valor 9,0. Considere o valor alternativo μ = 74 , que no contexto do problema não seria presumivelmente um desvio praticamente significativo de H 0 .

a. Para um teste nível 0,01, calcule β para essa alternativa para os tamanhos de amostra n = 100 ,   900   e   2500 .

b. Se o valor observado de X - é x - = 74 , o que você pode dizer sobre o valor P resultante quando n = 2500 ? Os dados são estatisticamente significativos em quaisquer dos valores padrão de α ?

c. Você realmente quer usar um tamanho de amostra de 2500 em um teste nível 0,01 (desconsiderando o custo de tal experimento)? Explique.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O que precisamos testar é o seguinte:

H 0   : μ = 75

H a   : μ < 75

Com o nível de significância α = 0,01 . Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

O teste é de cauda inferior. Logo, o β é calculado pela fórmula abaixo:

β μ = 1 - Φ - z α + μ 0 - μ σ n

Onde, z   α = 1 - α = 0,99 . Logo, pelo apêndice do livro z α = 2,33 .

Então, substituindo os valores do enunciado na fórmula que definimos.

β 74 = 1 - Φ - 2,33 + 75 - 74 9 n

Por fim, agora temos nossa fórmula prontinha!! Só basta calcularmos o β para os diferentes valores de n .

Para n = 100 .

β 74 = 1 - Φ - 2,33 + 75 - 74 9 100 = 1 - Φ - 1,22 = 1 - 0,1112 = 0,8888

Para n = 900 .

β 74 = 1 - Φ - 2,33 + 75 - 74 9 900 = 1 - - Φ 1 = 1 - 0,8413 = 0,1587

Para n = 2500 .

β 74 = 1 - Φ - 2,33 + 75 - 74 9 2500 = 1 - - Φ 3,23 = 1 - 0 , 9994 = 0 , 0006

Passo 3

A estatística de teste é:

Z = X - - μ 0 σ n   ~ H 0   t n - 1

Substituindo os valores, X - = 74 , μ 0 = 75 e σ = 9 , onde o tamanho da amostra é n = 1500 .

T = 74 - 75 9 2500 = - 5,56

Por fim, o valor P é definido por:

P = P Z ≤ - 5,56 = Φ ( - 5,56 ) ≈ 0

Usando um software para encontrar o valor exato de P. Encontramos:

P = 1,35 ∙ 10 - 8

Como, o valor de P é menor do que nível de significância α = 0,10 , podemos rejeitar a hipótese nula.

Passo 4

A diferença real entre nosso valor presumido e o valor real não tem impacto nas questões do mundo real. Portanto, somando ao fato de ser muito caro realizar uma pesquisa com tamanho de amostra n = 2500 , geralmente não se faz uso de uma amostra tão grande.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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