Enunciado

Sabe-se que a probabilidade de um certo tipo de câncer ocorrer em mulheres com mais de 60 anos é de 0,07. Há um teste para se detectar a doença, mas ele não é infalível. De fato, sabe-se que, em 10% do tempo, o teste dá um resultado negativo em uma mulher com câncer e, em 5% do tempo, dá um resultado positivo em uma mulher sem câncer. Se uma mulher, com mais de 60 anos, passar pelo teste e receber um resultado favorável (ou seja, negativo), qual é a probabilidade de que ela, na verdade, tenha a doença?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos e as probabilidades.

Usaremos C para representar o evento em que uma mulher com mais de 60 anos tem um certo tipo de câncer.

P C = 0,07

P representa o evento em que o teste deu positivo.

O enunciado nos disse que em 10% das vezes o teste dá um falso negativo.

P P ' C = 0,1

Também foi dado que 5% das vezes nos dá um falso positivo.

P P C ' = 0,05

A probabilidade de uma mulher não ter um certo tipo de câncer é:

P C ' = 1 - 0,07 = 0,93

E a probabilidade de o teste ser negativo, sabendo que a mulher não tem câncer é:

P P ' C ' = 1 - P P C ' = 1 - 0,05 = 0,95

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de que a mulher com mais de 60 anos tenha câncer, se o teste mostrou seu resultado negativo. Então, precisamos encontrar P ( C | P ' ) .

Usando o teorema de Bayes.

P C P ' = P P ' C P ( C ) P P ' C ' P C ' + P P ' C P ( C )

= ( 0,1 ) ( 0,07 ) 0,95 0,93 + ( 0,1 ) ( 0,07 )

P C P ' = 0,0079

Resposta

0,0079

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