Enunciado

Sejam X,X......X.uniformemente distribuidos no intervalo O a a.Mostre quc oestimador de momento de aed=2X.Eleeum estimador nao-tendencioso?Discuta quao razoavel e esse estimador.

Passo 1

X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n são uniformemente distribuídos no intervalo de 0 a a .

Vamos mostrar que o estimador de momento de a é a ^ = 2 X _ .

Primeiro, vamos obter um estimador de a pelo método dos momentos, em outras palavras, a ^ pode ser obtido resolvendo μ 1 = m 1 , onde,

μ 1 = a população de primeira ordem

m 1 = o momento da amostra de primeira ordem

X segue uma distribuição uniforme com os parâmetros 0 e α .

A distribuição de probabilidade de X é

f ( x ) = 1 a ,         0 ≤ x ≤ a 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o  

Passo 2

A população de primeira ordem é:

μ 1 = ∫ 0 a   x f ( x ) d x = ∫ 0 a   x 1 a d x = 1 a ∫ 0 a   x d x = 1 a x 2 2 0 a = 1 a ⋅ a 2 - 0 2 = a 2

O momento da amostra de primeira ordem 1 é

m 1 = 1 n ∑ X i = X -

Então,

μ 1 = m 1 a 2 = X - a ^ = 2 X -

Portanto, o estimador momentâneo de a é a ^ = 2 X _ .

Passo 3

Vamos verificar se há um estimador imparcial.

E ( 2 X - ) = 2 E ( X - ) = 2 E 1 n ∑ X i = 2 E ( X ) = 2 ∫ 0 a   x 1 a d x = 2 a 2 = a

Portanto, 2 X _ é um estimador imparcial de a.

O método de estimativa de probabilidade máxima nos fornece a estimativa de estatística de ordem máxima para a estimativa a . Portanto, o parâmetro a , parece intuitivamente não razoável usar a ^ = 2 X _ como um estimador de a.

Resposta

O estimador de momento de a é a ^ = 2 X . _

2 X _ é um estimador imparcial de a.

O método de estimativa de probabilidade máxima nos fornece a estimativa de estatística de ordem máxima para a estimativa a . Portanto, o parâmetro a , parece intuitivamente não razoável usar a ^ = 2 X _ como um estimador de a.

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