Enunciado

Suponha que 20 peças sejam verificadas a cada hora e que X seja o número de peças na amostra de 20 que requeiram retrabalho. Peças são consideradas independentes com relação a retrabalho.

  1. Se a porcentagem de peças que requerem conserto permanecer 1%, qual será a probabilidade de que a décima hora seja a primeira amostra em que X excede 1%?
  2. Se a porcentagem de conserto aumentar para 4%, qual será a probabilidade de que a décima hora seja a primeira amostra em que X excede 1?
  3. Se a porcentagem de retrabalho aumentar para 4%, qual será o número esperado de horas até que X exceda 1?

Passo 1

Seja q a probabilidade de que uma determinada parte exija retrabalho. Agora introduza a variável aleatória Y q para representar o número de partes (fora do total 20) que exigem retrabalho em uma hora de folga. Tem a distribuição binomial com os parâmetros n = 20 ,   q e a função de massa de probabilidade:

f q ( y ) = C 20 y q y ( 1 - q ) 20 - y ,   y = 0,1 , . . . , 20

Passo 2

Letra a:

Defina q = 0.01 . Vamos introduzir a variável aleatória X 1 como o número de horas

até que a variável aleatória Y q exceda 1. Essa é a variável aleatória geométrica

com o parâmetro p 1 calculado da seguinte forma:

p 1 = P ( Y q > 1 ) = 1 - f q ( 0 ) - f q ( 1 ) = 0.0169

Vamos calcular também:

P ( X 1 = 10 ) = ( 1 - 0.0169 ) 9 × 0.0169 = 0.014

Passo 3

Letra b:

Vamos definir q = 0.04 . Vamos introduzir a variável aleatória X 2 como o número de horas

até que a variável aleatória Y q exceda 1. Essa é a variável aleatória geométrica com o parâmetro p 1   calculado da seguinte forma:

p 2 = P ( Y q > 1 ) = 1 - f q ( 0 ) - f q ( 1 ) = 0.18966

Vamos calcular também:

P ( X 2 = 10 ) = ( 1 - 0.18966 ) 9 × 0.18966 = 0.02857

Passo 4

Letra c:

Vamos calcular a média da variável aleatória X 2 :

E ( X 2 ) = 1 p 2 = 1 0.18966 = 5.27

Resposta

  1. 0.014
  2. 0.02857
  3. 5.27
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